1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT[ un ]Tìm số hạng tổng quát của dãy sốbiếtBài 1.1u1 =2u2 = 673232un + 2 = 2[n + 2] un +1 − [ n + 4n + 5n + 2]unn+3Hướng dẫn giải2[n + 2] un +1 − [n + 4n + 5n + 2]un=n+3nên ta có:2un + 2Vì[ n ∈ ¥ , n ≥ 1]32[n + 3]un + 2 = 2[ n + 2] 2 un +1 − [n + 2][ n + 1] 2 un⇔n+3un + 2 = 2[ n + 2]un +1 − [ n + 1] 2 unn+2⇔n+3un + 2 = [n + 3]un +1 + [ n + 1]un +1 − [ n + 1] 2 un .n+2un = n !vnĐặtn∈ ¥, n ≥1,thu được[n + 3]vn + 2 = [n + 3]vn+1 + [n + 1]vn +1 − [n + 1]vn⇔ [n + 3][vn + 2 − vn +1 ] = [n + 1][vn +1 − vn ].wn = vn − vn−1Đặtn∈ ¥,n ≥ 2,thu được[n + 1] wn = [ n − 1] wn −1⇔ [n + 1]nwn = n[n − 1] wn −1.Do đó[n + 1]nwn = n[n − 1] wn −1 = [n − 1][n − 2] wn− 2 = ... = 3.2.w2= 6[v2 − v1 ] = 2016.20161 1= 2016 −÷n[ n + 1] n n +1 n ∈ ¥ , n ≥ 2Như vậy,.n∈ ¥,n ≥ 1Từ đó, với, ta cówn =1 n −11vn − v1 = 2016 −÷ = 2016n +1 2 n +1 ⇔ vn =4033n − 40312[n + 1]un = n !4033n − 4031,n∈ ¥, n ≥12[n + 1]Vậy.3n+4 *u1 = 1; u n +1 = un − 2÷, ∀n ∈ N2n + 3n + 2 [ un ]Bài 2.Cho dãy sốxác định bởiunnTìm công thức số hạng tổng quátcủa dãy số theo .Hướng dẫn giải3n+4 u n +1 = un − 2÷2n + 3n + 2 Vìnên3n+4−1,5n − 62 u n +1 − 3un = − . 2=2 n + 3n + 2 [ n + 1] [ n + 2 ]⇔ 2 u n +1 − 3un = 2.⇔ 2 u n +1 − 2.1,51,5= 3un − 3.n+2n +11,5 ⇔ u n +1 −÷=n+2vn = un −Đặt1,51,5− 3.n+2n +11,5n +131,5 un − 3.÷2n +1, khi đó ta có:1,5 1v1 = u1 +=2 4Lại có:.3vn +1 = vn2.n −1[ vn ]Từ đẳng thức trên ta có công thức tổng quát của dãylà:3 1vn = ÷ .2 4n −1un = vn +[ un ]Từ đó ta có công thức tổng quát của dãylà:1,5 3 13= ÷ . +n + 1 2 4 2 [ n + 1].2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ[ un ]u2013 = 2013; u2014 = 2014nBài 1.Cho cấp số cộngvới là số nguyên dương thoã mãn111S=++ .... +u1u2 u2u3u2013u2014Tính tổng:.Hướng dẫn giải[ un ] u n = nlàDễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của cấp số cộngKhi đó111111S=++ .... +=++ ...u1u2 u2u3u2013u2014 1.2 2.32013 + 2014=1 1 1 1111006 503− + − + ... +−==2 3 3 42013 2014 2014 1007[ xn ]Bài 2.Cho dãy số thựcTìm tất cả các giá trị củaxn < 0Giả sửvới∀n ∈ ¥có−Lại từ2< 2 xn2 − 1 < 02xn −đểvới mọi số tự nhiênHướng dẫn giảin.2< xn +1 < 02−2− 2− 21< xn 2 4Suy ra[ ∀n ∈ ¥ ].−xn + 2 = 2 xn2+1 − 1 < 0Từađược xác định bởi x0 = a2 xn +1 = 2 xn − 111111 31= 2 xn2 − 1 + = 2 xn2 − = 2 xn − . xn + > xn + , ∀n ∈ ¥22422 22Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có:2a+n2lim ÷ = 0n→+∞ 3 Màna+11=0⇒ a =−22nên phải có11a=−xn = − < 0, ∀n22Thử lại vớithì1a=−2Vậylà giá trị duy nhất cần tìm. x0 = 20; x1 = 30 xn + 2 = 3xn +1 − xn , ∀n ∈ ¥[ xn ]Bài 3.Cho dãy sốxác định bởixn +1.xn + 1nTìmđểlà số chính phương.Hướng dẫn giảiTừ công thức truy hồi của xn ta có[− 3x ] + x]∀n ∈ ¥ , x n2+1 + x n2 − 3xn +1 xn = x n2+1 + xn x n − 3xn +1 = x n2+1 − xn + 2 xn[và x n2+1 + x n2 − 3xn +1 xn = xn +1 x n+1n2n= x n2 − xn +1 xn −1Suy ra x n2+1 − xn + 2 xn = x n2 − xn+1 xn−1 = ... = x12 − x0 x2 = −500⇒ x n2+1 + x n2 − 3 xn +1 xn = −500⇔ x n2+1 + x n2 = 3 xn +1 xn − 500[⇔ x n+1 − x n]2= xn +1 xn − 500xn +1 xn − 500Vậyn11 21 211 2 2= x0 + < x1 + < ÷ x2 + < ... < ÷ xn + < ÷ , ∀n ∈ ¥22 32 322 3 3là số chính phươngxn +1 xn − 500Giả sử n là số thỏa mãnlà số chính phương22xn +1 xn − 500 = b , xn +1 xn + 1 = a , a, b ∈ ¥ , a > bĐặta 2 − b 2 = 501 ⇔ [ a − b ] [ a + b ] = 1.501 = 3.167Ta cóxn +1 xn = 12600 ⇒ n = 2Khi đó ta tìm được a = 201, b=1 thìxn +1 xn =7224⇒∃n5Với a = 85, b =82 thìxn +1.xn + 1Vậy n = 2 thìlà số chính phương.[ un ]Bài 4.Cho dãy sốTìm sốnđược xác định bởiu1 = −1, u2 = 2, u3 = 4010un2−1.un −3 − 24un −1.un2− 2u=∀n = 4,5, 6,... nun − 2 .un −3unnhỏ nhất đểchia hết cho 2048.Hướng dẫn giảiun 10un −1.un −3 − 24.un2−2 10un −1 24un −2u==−vn = nun −1un −2 .un −3un − 2un −3un −1Từ công thức truy hồi cuả dãy, đặt, thìvndãy [] xác định bởiv2 = 2, v3 = 20vn = 10vn −1 − 24vn − 2Phương trình đặc trưng :un = vn .vn −1.vn − 2 ....v2 = 2n −1[3n −1− 2 ].[3n−2x 2 − 10 x + 24 = 0[ n −1] n2−2n−2Do⇒, n = 4,5, 6...vn = 6n −1 − 4n −1, từ đó suy ra :[3n −1 − 2n −1 ].[3n − 2 − 2n − 2 ]...[3 − 2]un M2048 ⇔ 2]...[3 − 2]là số là số lẻ nênn[n − 1]≥ 11 ⇔ n ≥ 62Vậyn=6là giá trị cần tìm thỏa mãn điều kiện bài toán.GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ[ xn ]Bài 1.Cho dãy sốđược xác định bởi[ n −1] n2M2048 x1 = 2,1xn − 2 + xn2 + 8 xn − 4x=[ *] , n = 1, 2,... n +12n1x −4yn = ∑2ii =1Với mỗi số nguyên dương n, đặtTa có kết quả sau: với số thựca−2+a + 8a − 42>2. TìmHướng dẫn giảia>2a−2+lim yn.bất kì, ta cóa + 4a + 422=a − 2 + [ a + 2]2=a⇒ [ xn ]2,1 < x1 < x2 < ...lim xn = L > 2Do đólà dãy tăng, giả sử bị chặn trên tức là có giới hạnChuyển qua giới hạn điều kiện [*] ta có phương trìnhx−2+x=x + 8x − 422⇔ x − 4 = [ x + 3] [ x − 2 ]2phương trình này không có nghiệm hữu hạn lớn hơn 2[x ]lim xn = +∞nSuy ra dãytăng và không bị chặn trên nênxn +1 =xn − 2 +x n + 8 xn − 422Ta có⇔ 2 x n +1 − x n + 2 =x n + 8 xn − 42⇔ [ 2 xn +1 − xn + 2 ] = xn + 8 xn − 4 ⇔ xn + 2 − 4 = [ xn + 3] [ xn − 2 ]2⇔⇔1=xn − 21x n +1 − 42∑xi =1xn + 3xn + 1 − 4=2iSuy ralim yn = 10Vậy.−41xn − 2=−2xn + 2 + 1=21nyn =2xn + 1 − 42=1x n +1 − 2+1x n +1 − 421xn + 1 − 21x1 − 2−1x n +1 − 2= 10 −1xn + 1 − 2 x1 = 1,3 xnx=x+∀n ≥ 1 n +1n2n[ xn ]Bài 2.Cho dãy sốđược xác định như sau[ xn ]nChứng minh rằngcó giới hạn hữu hạn khidần đến vô cùng.Hướng dẫn giảixn > 0Dễ thấy, với mọi n nguyên dương, nên dãy số đã cho là dãy tăng thực sự.Vậy để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn ta chỉ cần chứng minh nó bị chặn trên.xn < 8, ∀n ∈ ¥ *Ta chứng minh.n = 1 ⇒ x1 = 1 < 8Thật vậy, vớinên điều cần chứng minh đúng.xn < 8xn +1 < 8nGiả sử ta có:, với nguyên dương. Ta cần chứng minh.nxn +1 = x1 + ∑3xk2n1< 1 + 2.2 < 82k =1 k< 1 + 2∑k =1 kTheo công thức xác định dãy số có:xn < 8Do đóvới mọi n nguyên dương từ đó suy ra điều phải chứng minh.[ an ]Bài 3.13a1 = 4 ; a2 = 102a = 1 + an + an −1 , ∀n ∈ ¥ , n ≥ 2 n 2 63.Cho dãy số thựcxác định bởi[ an ]Chứng minh rằng dãycó giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó.Hướng dẫn giảia1 , a2 ∈ [ 0;1]a1 , a2 ,..., ak ∈ [ 0;1] , k ∈ ¥ , k ≥ 2Có, giả sử. Từ công thức truy hồi ta có:211 a a1 1 1+ 0 + 0 ≤ ak +1 = + k + k −1 ≤ + + = 1,0 ≤ ak −1 , ak ≤ 1 ⇒ ak +1 ∈ [ 0;1]22 632 6 3vì.an ∈ [ 0;1] , ∀n ∈ ¥ *Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được.1 x1 = x2 = 4[ xn ] : 2 x = 1 + xn + xn −1 n +1 2 63[3 y1 = y2 = 10yn ] : 2 y = 1 + yn + yn −1 n +1 2 63∀n ∈ ¥ ; n ≥ 2Xét hai dãy số mớivàvới10 < x1 ≤ x2 < < x3 < 10 < x1 ≤ x2 ≤ ... ≤ xk < 1, k ∈ ¥ , k ≥ 32Có, giả sử ta có, khi đóx2x21 x1 xxk = + k −1 + k −2 ≤ + k + k −1 = xk +12632 63[ xn ]Vậy bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh đượclà dãy số tăng và bị chặn trên bởi 1,lim xn = αnên nó có giới hạn hữu hạn3α=1 α α2α= + +⇔22 6 3α=1Chuyển công thức truy hồi qua giới hạn tìm được[ xn ] ⊂ [ 0;1]α =1Donên suy ra[ yn ]lim yn = 1Chứng minh tương tự đối với dãy số, ta cũng cóxn ≤ an ≤ yn , ∀n ∈ ¥ *Cuối cùng ta chứng minh[1] bằng phương pháp quy nạp:x1 = a1 < y1a2 < x2 = y2Ta cóvà, với n = 1, 2 bất đẳng thức [1] đúng. Giả sử [1] đúng tớixi ≤ ai ≤ yi , ∀i = 1, 2,..., kk ∈ ¥, k ≥ 2, tức là. Khi đóx2y21 x1 a a21 yxk +1 = + k + k −1 ≤ ak +1 = + k + k −1 ≤ + k + k −1 = yk +12 632 632 63xn ≤ an ≤ yn , n ∈ ¥ , n ≥ 1Từvà áp dụng định lý kẹp ta suy ra được[ xn ]Bài 4.lim an = 1Cho dãy số.x1 = 2016, xn +1 = xn2 − xn + 1, n = 1, 2,3,...được xác định bởi[ xn ]lim xn = +∞a] Chứng minh rằngtăng vàb] Với mỗi số nguyên dươngn1 11 yn = 2016 + + ... + ÷.xn x1 x2lim yn ., đặtTínhHướng dẫn giải2xn +1 − xn = xn2 − 2 xn + 1 = [ xn − 1] ≥ 0 ⇒ xn +1 ≥ xn , ∀n ≥ 1.[ xn ]a] Ta cóDo đótăng.xn > n + 1, ∀n ≥ 1Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng[1]n[n>1]n =1Thật vậy, [1] đúng với.Giả sử [1] đúng vớithìxn +1 = xn [ xn − 1] + 1 > n [ n + 1] + 1 = n 2 + n + 1 > n + 2[ xn ]xn > n + 1, ∀n ≥ 1lim xn = +∞.Vậy [1] đúng với mọi n. Từtăng ngặt vàsuy ra1111==−xn +1 − 1 = xn [ xn − 1]xn +1 − 1 xn [ xn − 1] xn − 1 xnb] Ta có. Suy ra111=−xn xn − 1 xn +1 − 1Từ đó1 1 1 11 1 1 ⇒ yn = 2016 + + ... + ÷ = 2016 −−÷ = 2016 ÷xn x1 x2 x1 − 1 xn +1 − 1 2015 xn +1 − 1 lim xn = +∞ ⇒ lim1=0xnTừlim yn =. Vậy2016.2015[ xn ]Bài 5.Cho dãy số thực[ xn ]Chứng minh dãy sốxác định bởi: x1 = 2007 x = 3 + xn ∀n ≥ 1 n+1xn2 −1có giới hạn và tìm giới hạn đó.Hướng dẫn giảixn > 3Dễ dàng quy nạpxn +1 = 3 +xn3 + 1+x −12n1< 3+ 2x −1∀n ≥ 12nTa có:=xn ≤ 2007nVậyvới mọinên dãy bị chặnx11f [ x] = 3 +⇒ f ′[ x] = − ⇒ f ′ [ x ] 3.x2x2 −1⇔ [ x 2 − 3 x] 2 − 2[ x 2 − 3 x] − 3 = 0 x 2 − 3 x = −1 [ L ]⇔ x 2 − 3x = 3x=3 + 15=a2Áp dụng định lý Lagrang có:n 1 xn +1 − a = f [ xn ] − f [a ] = f '[θ n ] xn − a 1u1 = e > 2aVìnên đặt.2Ta có11u2 = u12 − 2 = a + ÷ − 2 = a 2 + 2aa.un2+1n →+∞ u 2 .u 2 ...u 212nlim. Tìm.1nun +1 = a 2 +Bằng quy nạp, ta có thể chứng minh đượcXétn, ∀n ∈ ¥−11 1 n 2i−11 =a−a−÷ ÷∏ a + 2i−1÷ a a i =1 a 1 i−1ui = ∏ a 2 + 2i−1∏ai =1i =1 na2n−11 2n1 ÷ = a − a ÷ a + 2n ÷ a 21 n1 a − ÷ a 2 + 2n ÷2222ua a ⇒ lim un +1 = a − 1 = a + 1 − 4 = e2 − 4⇒ 2 n2+1 2 = ÷ ÷2n →+∞ u 2 .u 2 ...u 2u1 .u2 ...una a 2n 1 12n a − 2n ÷a [ an ] ; [ bn ]Bài 7.Cho hai dãy sốxác định bởia1 = 3, b1 = 2 an +1 = an2 + 2bn2bn +1 = 2an bn,vàvới n = 1, 2, 3,…nnlim 2 bnlim 2 a1a2 ...ann →+∞n →+∞Tìmvà.Hướng dẫn giảiVới mọi n = 1,2,3,… ta có[an +1 + bn +1 2 = an2 + 2bn2 + 2 2anbn = an + bn 2]2Do đó:[an + bn 2 = an−1 + bn−1 2] =[a2an − bn 2 =Tương tự ta có:1an = 2Từ đó:2n[[] +[2 +1]2 +122n[n − 2 + bn − 2 2]2 −1]2 −1[= ... = a1 + b1 2n2n.÷;1 bn =2 2lim 2nn→∞vàlim 2 bn = lim 2 an = 2 + 1nnn →∞.]2n−1[= 3+ 2 2]2 n−1=[]2 +12n2n< 2 bn < 2 an < 2 + 1Chú ý:n →∞22n4 2ta có:]n[[] −[2 +1]2 +14 22n]2 −12n÷2n= 2 +1, nên theo nguyên lí kẹpan =bn +1 = 2an bnMặt khác:lim2nn →+∞bn +1[∀n ≥ 1]2bnhayn →∞[]2. Do đó1=12nlim 2n2 +1 = 3 + 2 2=Bài 8.n→∞[vìCho trước số thực dươngxnα+1 +].[ xn ]αvà xét dãy số dương1< [ α + 1] αxnthỏa mãnα−α +1với mọi[ xn ]Chứng minh rằng dãyb2 b3 bn +1 bn +1....= n2b1 2b2 2bn2. Suy ra:lim 2n bn +1 =a1a2 ...ana1a2 ...an =n∈ ¥*hội tụ và tìm giới hạn của nó.Hướng dẫn giảiXét hàm số1f [ x ] = xα + , x > 0xf ′[ x] = α xα −1 −Ta có.α +11 α x −11−=α +122′f[x]=0⇔x=x=α0xx;.f [ x]Ta có bảng biến thiên của hàmf [ x ] ≥ f [ x0 ] = α−αα +1:1+ α α +1 = [α + 1]α−αα +1Suy raxnα+1 +Do đóα−11< [ α + 1] α α +1 ≤ xnα+1 +xnxn +1[ xn ]xn +1 < xnSuy rahay[ xn ]xn > 0là dãy giảm. Kết hợp vớivới mọi n ta suy ra dãyhội tụ.α−1α +1β + ≤ [α + 1]α⇒ β = x0βαlim xn = β > 0Đặt. Chuyển qua giới hạn ta đượclim xn = α1−α +1Vậy.[ un ]Bài 9.u1 , u2 ∈ [0;1]1 343un + 2 = 5 un +1 + 5 un , ∀n ≥ 1Cho dãy số thựcthỏa mãn[un ]Chứng minh rằng dãycó giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.Hướng dẫn giải x1 = min { u1 , u2 }[ xn ] : 1 3 4 xn +1 = xn + 3 xn55Xét dãyxn ∈ [0;1]Ta thấyTa có.xn3 + 3 xn + 3 xn + 3 xn + 3 xn 5 1331 3 43xn +1 = xn +xn =≥ xn > xn555[ xn ]Vậy dãylim xn = a [0 < a ≤ 1]tăng, bị chặn trên nên hội tụ,Chuyển qua giới hạn ta được:.14a = a3 + 3 a ⇒ a = 135.xn ≤ u2 n −1; u2 n < 1Ta sẽ chứng minh[*] bằng quy nạp theo n.x1 ≤ u1; u2 < 1Ta có. Giả sửxn +1 =Suy raxn ≤ u2 n −1 ; u2 n < 1.1 3 4314xn +xn ≤ u23n + 3 u2n −1 = u2 n +1 < 15555.1 3 431414xn +xn ≤ xn3+1 + 3 xn ≤ u23n +1 + 3 u2 n = u2n + 2 < 1555555xn +1 =lim un = 1Vậy [*] đúng với mọi n nguyên dương. Từ đó suy raa0 = 1; a1 > 1; an +1 =Bài 10..a1a2 ...an+ 1 ∀n = 1, 2,3,...a n 2 Cho dãy số xác định bởin1k =1 ak +1a k Sn = ∑Đặt1ak +1a k 2 Ta cóSuy ra[ x]lim S n2 n →+∞. Chứng minh tồn tại[ trong đólà phần nguyên củaHướng dẫn giảiak +1 − 1111===−a a ...aak +1 1 2 k a1a2 ...ak +1 a1a2 ...ak a1a2 ...ak +1ak +1 − 1n 1111Sn = ∑ −÷= −a1a2 ...ak +1 a1 a1a2 ..an +1k =1 a1a2 ...aklim [ a1a2 ...an +1 ] = +∞.n →+∞Chứng minhan > 1 ∀n ≥ 2Ta có :n 2 ≠ n ⇒ an +1 > an + 1.suy ra dãy đã cho là tăng.an > an−1 + 1 > ... > a1 + n − 1Như vậy.1lim S n =lim [ a1a2 ...an +1 ] = +∞n →+∞a1n →+∞Vậy, suy ra.[ u n ] ; [ vn ]Bài 11.Cho dãy sốđược xác định như saux].u1 = 3, v1 = 222un +1 = un + 2vnv = 2u vn n n +1lim 2n vn∀n ∈ Nlim 2n u1.u2 ...unx →∞x →∞vàTìm các giới hạn sau:.Hướng dẫn giải[22∀n ∈ N un +1 + 2.vn +1 = un + 2vn + 2 2.un vn = un + 2.vnTa có::[un + 2.vn = un−1 + 2.vn−1Áp dụng [1] ta suy ra:[un + 2.vn = u1 + 2.v1Theo quy nạp ta có:un − 2.vn =Lập luận tương tự ta cũng có:1un = 2 v = 1 n 2 2[] []2n[Từ [2] và [3] ta suy ra:1un = 2 + 12Lại có:[vn =Tương tự ta có :2n+1 2 2 [][22 −12]2 +182n⇒ 2n vn >2vn < unMặt khác ta có:. Do đó ta có dãy bất đẳng thức sau:[]1 1 2 2n2 +1 ÷ =8n[]2 +182n< 2n vn < 2n un < 2 + 1n[]2 +182nlim 2n un = lim 2n vn = 2 + 1n →∞n →∞Như vậy theo định lí kẹp ta suy ravn +1 = 2un vn ⇒ un =vn +12vnHơn nữa theo đề bài ta có:vvvv vu1.u2 ...un = 2 . 3 ... n +1 = nn +1 = nn++112v1 2v2 2vn 2 v1 2Suy ra:lim 2n u1.u2 ...un = lim 2nn →∞n →∞vn +11= lim 2n vn +1 .lim 2n n+1n +1n →∞n →∞22Vậy= lim 2n 2un vn .lim 2nn →∞= 1.[n →∞][2 +1 .n11= lim 2 2.lim 2n un .lim 2n vn .lim 2n n +1n +1n→∞n→∞n→∞n→∞22]2 + 1 .1 = 3 + 2 2lim 2n vn = 2 + 1lim 2n u1.u2 ...un = 3 + 2 2n →∞Tóm lại ta có:n →∞và[ an ]Bài 12..an +1 = an +0 < a1 ≠ 1Cho dãy sốxác định bởilim [ an − n ] = 0n, ∀n ≥ 1anvàn →∞Chứng minh rằng.Hướng dẫn giải1a2 = a1 + > 2a1 ≠ 1a1Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có[do]an > n, ∀n ≥ 2Nhận xét:.Ta sẽ chứng minh nhận xét này bằng phương pháp quy nap.Thật vậy•Vớin=2a2 > 2ta cóak > k•Giả sử[đúng].ak +1 = ak +•k> k + 1 ⇔ ak2 + k > [ k + 1] akakTa có⇔ ak2 − [ k + 1] ak + k > 0⇔ [ ak − 1] [ ak − k ] > 0[đúng]ak +1 > k + 1Suy raan > n, ∀n ≥ 2Như vậy[điều phải chứng minh].nnan +1 − [ n + 1] = an + − [ n + 1] = an − n + − 1ananMặt khác,=an2 − [ n + 1] an + n [ an − n ] [ an − 1]=anan[1]Áp dụng [1] ta có[ a2 − 2 ] [ a2 − 1]a3 − 3 =a2[ a − 3] [ a3 − 1] a4 − 4 = 3a3...[ an − n ] [ an − 1]an +1 − [ n + 1] =an[ a3 − 3] [ a4 − 4 ] ... [ an+1 − [ n + 1] ] =[ a2 − 2 ] [ a2 − 1] [ a3 − 3] [ a3 − 1] ... [ an − n ] [ an − 1]a2 a3 ...anSuy ra⇔ an +1 − [ n + 1] =[ a2 − 2 ] [ a2 − 1] [ a3 − 1] ... [ an − 1]a2 a3 ...an.1 1 1 ⇔ an +1 − [ n + 1] = [ a2 − 2 ] 1 − ÷ 1 − ÷... 1 − ÷ a2 a3 an n1⇔ an+1 − [ n + 1] = [ a2 − 2 ] ∏ 1 − ÷ai i =2 1−Ta lại cóa −11= n +1=an +1an +1n1i=2ian +[2]n−1an n ⇒n
0∀n = 1, 2,3,....Cho dãy sốtăng ,vàa −axn = ∑ i +1 α ilim xni =1 ai +1ain →+∞. Chứng minh rằng tồn tại.Hướng dẫn giải[ xn ]Dễ dàng thấy rằng dãytăng ngặtα >1Trường hợp 1. Nếuai +1 − ai11111= α −< α − α ⇒ xn < ααα −1ai +1aiai ai +1aiai ai +1a1n]lim [ an − n ] = 0n →∞Bài 13.an > nα >0[ xn ]. Xét dãy sốxác định bởi[ xn ]lim xnn →+∞bị chặn trên do đó tồn tạivậy dãyTrường hợp 2. Nếu
0 < α α ai +1 [ **]ai +1 − ai.Ta chứng minh [**]f [ x ] = xα[ ai ; ai +1 ]Xét hàm sốTrên đoạnc ∈ [ ai ; ai +1 ]Hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại sốf ′[ c] =aiα+1 − aiαaα − aαaα − aα⇔ α cα −1 = i +1 i ⇒ α aiα+−11 < i +1 iai +1 − aiai +1 − aiai +1 − ai⇒ xn