Công thức tính đường cao tứ diện Trong không gian

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;6), B(-3;-1;4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Đồ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là

Trong không gian\(Oxyz,\) cho tứ diện\(ABCD\) biết\(A\left( {2; - 1;6} \right),B\left( { - 3; - 1; - 4} \right),C\left( {5; - 1;0} \right),D\left( {1;2;1} \right).\) Độ dài đường cao\(AH\) của tứ diện\(ABCD\) là

A. \(5.\)

B. \(6.\)

C. \(7.\)

D. \(10.\)

Phương Pháp Toạ độ Trong Không Gian| Tích Có Hướng Và ứng Dụng| Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD trong đó \(A(2;3;1),{\rm{ }}B(4;1; - 2),{\rm{ }}C(6;3;7),{\rm{ }}D( - 5; - 4;8).\) Tính độ dài đường cao kẻ từ D của tứ diện. A. \(\sqrt {\frac{{86}}{{19}}}\) B. \(\sqrt {\frac{{19}}{{86}}}\) C. \(\frac{\sqrt{19}}{2}\)

D. \(11\)

\(h_D = d(D;(ABC)) = \frac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\) \(\overrightarrow {AB} = (2; - 2 - 3);\overrightarrow {AC} = (4;0;6);\overrightarrow {AD} = ( - 7; - 7;7)\) \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 12; - 24;8);\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = 308\)

Suy ra: \({h_D} = \frac{{308}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{24}^2} + {8^2}} }} = 11.\)

Cho tứ diện ABCD có A(0;1;-1),B(1;1;2),C(1;-1;0),D(0;0;1)Tính độ dài đường cao AH của hình chóp ABCD.

A. 32

B.22

C.22

D.322

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz ), cho tứ diện (ABCD ) với (A( ( - 1; - 2;4) ) ), (B( ( - 4; - 2;0) ) ), (C( (3; - 2;1) ) ) và (D( (1;1;1) ) ). Độ dài đường cao của tứ diện (ABCD ) kẻ từ đỉnh (D ) bằng:

Câu 52217 Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( { - 1; - 2;4} \right)\), \(B\left( { - 4; - 2;0} \right)\), \(C\left( {3; - 2;1} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\). Độ dài đường cao của tứ diện \(ABCD\) kẻ từ đỉnh \(D\) bằng:

Đáp án đúng: a

Phương pháp giải

- Tính thể tích tứ diện và diện tích tam giác \(ABC\).

Phương pháp giải các bài toán về tọa độ điểm và véc tơ --- Xem chi tiết

...

Câu hỏi

Nhận biết

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho tứ diện \(ABCD\). Độ dài đường cao vẽ từ \(D\) của tứ diện \(ABCD\) cho bởi công thức nào sau đây?

A.

\(h = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\)

B.

\(h = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\)

C.

\(h = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}\)

D.

\(h = 3\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\)

Tải trọn bộ tài liệu tự học tại đây

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}} \Rightarrow d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}}\)

Sử dụng công thức: \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\), \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right).{S_{ABC}}\\ \Rightarrow d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{ABCD}}}}{{{S_{ABC}}}}\\ \Rightarrow d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{3.\dfrac{1}{6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}} = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\end{array}\)

Vậy \(h = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|}}\).

Chọn A.