Công thức tính thể tích chính là một trong những công thức toán học được áp dụng nhiều nhất vào đời sống thực tế. Đặt biệt là các công thức liên quan đến các khối lăng trụ, hình hộp,… Vậy bài viết ngay sau đây sẽ giới thiệu cho các bạn một công thức tính thể tích khối lăng trụ khá phổ biến trong cả toán học và áp dụng thực tế. Chính là công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều. Bên cạnh đó, bài viết còn đưa ra thêm một số ví dụ cụ thể để các bạn có thể dễ dàng áp dụng vào giải các bài toán liên quan.
Trước khi đi tìm hiểu về công thức tính thể tích khối lăng trụ đều là gì, chúng ta cùng nhau đi đến những khái niệm, định nghĩa về hình lăng trụ trước nhé! Vậy thế nào là một khối lăng trụ?
Theo như định nghĩa trong lĩnh vực toán học, hình lăng trụ chính là một đa diện đều mà hai đấy của nó phải là 2 đa giác bằng nhau [đáy của khối lăng trụ có thể là bất cứ hình gì: hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn, hình tam giác, hình bình hành, …] và phải 2 đáp phải đáp ứng được điều kiện cùng nằm trên 2 mặt phẳng song song nhau. Và đồng thời, các mặt bên còn lại của đa giác là hình bình hành và các cạnh bên hoặc là bằng, hoặc là song song với nhau.
Các bạn có thể dễ dàng hình dung khối lăng trụ qua hình ảnh sau đây:
Trong lĩnh vực toán học, người ta phân loại có 2 dạng khối lăng trụ chính:
Khối lăng trụ đứng,
Khối lăng trụ đứng chính là một trong những trường hợp đặt biệt của lăng trụ.
Nếu một khối lăng trụ thỏa mãn điều kiện các cạnh bên của khối lăng trụ vuông góc với 2 mặt đáy của nó thì được gọi là hình lăng trụ đứng.
Dựa theo khái niệm về hình lăng trụ đứng ở trên, ta có thể phát biểu rằng trong trường hợp đó là một khối lăng trụ đứng thì các mặt bên của nó chính là hình chữ nhật.
Đây cũng chính là khối lăng trụ được sử dụng và áp dụng các công thức tính thể tích trên thực tế nhiều nhất. Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều cũng nằm trong một trong số đó.
Nhận xét hình ảnh trên, ta thấy:
Canh bên AA’ vuông góc với mặt phẳng đáy [A’B’C’]
Cạnh bên BB’ vuông góc với mặt phẳng đáy [ABC]
Khối lăng trụ xiên [nghiêng]:
Trái ngược hoàn toàn với định nghĩa khối lăng trụ đứng. Nếu như khối lăng trụ đứng đều có các cạnh bên song song và vuông góc với 2 đáy thì khối lăng trụ xiên lại là hình lăng trụ mà các cạnh bên của nó không vuông góc với 2 mặt phẳng đáy.
Nhận xét từ hình ảnh minh họa trên, ta thấy: độ dài chiều cao của khối lăng trụ xiên luôn nhỏ hơn so với độ dài của các cạnh bên.
Tham khảo thêm các công thức khác :
Biết được các tính chất của khối lăng trụ, ta có thể áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều một các dễ dàng, nhanh chóng để đạt được hiệu quả cao hơn.
- Tính chất 1: Một khối lăng trụ thì hai đáy của nó là 2 đa giác mà chúng nằm trên 2 mặt phẳng song song và đồng thời 2 đa giác đó đều bằng nhau.
- Tính chất 2: Trong một khối lăng trụ thì tất cả các cạnh bên của nó đều song song với nhau.
- Tính chất 3: Tất cả các mặt bên của một khối lăng trụ đều là hình bình hành.
- Hình hộp chính là khối lăng trụ mà hai đáy của nó chính là hình bình hành.
- Khối lăng trụ tam giác đều là khối lăng trụ mà hai đáy của nó là hình tam giác.
- Khối lăng trụ tứ giác đều chính là khối lăng trụ mà 2 đáy của nó là hình vuông.
- Khối lăng trụ ngũ giác đều là khối lăng trụ mà hai đáy của nó là hình ngũ giác.
- Khối lăng trụ lục giác đều là khối lăng trụ mà 2 đáy của nó là hình lục giác.
Các khái niệm trên giúp ta phân biệt được chính xác các dạng của khối lăng trụ để có thể áp dụng các công thức một cách chính xác.
Phía trên, bài viết có đề cập đến khối lăng trụ tam giác đều – chính là nhân vật chính trong bài viết. Vậy sau đây chúng ta cùng đi vào cụ thể tìm hiểu về khối lăng trụ tam giác đều cũng như công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều.
Định nghĩa: khối lăng trụ đều là một trong các dạng lăng trụ đặc biệt. Nếu một khối lăng trụ có hai đáy là 2 đa giác đều thì được gọi là khối lăng trụ đều.
Khối lăng trụ tam giác đều chính là một dạng khối lăng trụ đều thường gặp, với hai đáy của khối lăng trụ là hình tam giác đều.
Nhờ định nghĩa trên mà người ta rút ra được một số tính chất của khối lăng trụ đều, giúp ích trong việc áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều.
- Tính chất 1: Tất cả các cạnh bên của khối lăng trụ đều thì luôn luôn vuông góc với 2 mặt đáy.
- Tính chất 2: Tất cả các cạnh bên của khối lăng trụ đều thì đều là hình chữ nhật.
- Tính chất thứ 3: Hai đáy của một khối lăng trụ đều luôn luôn là các đa giác đều và bằng nhau → các cạnh đáy của khối lăng trụ đều thì đều bằng nhau.
Sau khi tìm hiểu chi tiết về tất cả các khái niệm cũng như tính chất về khối lăng trụ đều cũng như khối lăng trụ tam giác đều, chúng ta cùng đến với công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều.
Công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều là một công thức khá dễ để ghi nhớ cũng như áp dụng vào vận dụng bài tập hay ngay cả trong thực tế.
Đây là công thức chung để tính thể tích các khối lăng trụ đều, trong đó có khối lăng trụ tam giác đều:
V = S × h
Trong đó:
- S – là diện tích mặt đáy [hình tam giác đều] của khối lăng trụ đều
- h – là độ dài chiều cao của khối lăng trụ [tam giác] đều.
Bài tập 1: Hãy xác định thể tích của khối lăng trụ tam giác đều khi biết: Diện tích của mặt đáy hình tam giác đều của khối lăng trụ tam giác đều là 4 cm2 và chiều cao của khối lăng trụ đó là 3 cm.
Lời giải:
Tóm tắt, theo đề bài ta có:
S đáy [diện tích đáy hình tam giác đều] = 4 cm2
h [chiều cao của khối lăng trụ] = 3 cm
Dựa vào công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều, ta có:
V = S × h
→ V = 4 × 3
→ V = 12 [cm3]
→ Kết luận: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều trên là 12 cm3.
Bài tập 2: Hãy cho biết thể tích của khối lăng trụ tam giác đều, biết: Cạnh đáy là 3 cm và chiều cao của khối lăng trụ tam giác đều là 2 cm.
Lời giải:
Ta có: h = 2 cm
Vì là khối lăng trụ tam giác đều → đáy là hình tam giác đều → các cạnh đáy đều bằng nhau = 3 cm
S đáy = 32 × 34
→ S đáy = 934 [cm2]
Áp dụng công thức tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều ta có:
V = S × h
→ V = 934 × 2
→ V = 932 [cm3]
→ Kết luận: Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều trên là: 932 [cm3]
Hình học không gian là một trong những môn học quan trọng của toán học. Trong hình học không gian có rất nhiều dạng khác nhau. Hôm nay, hãy cũng mình tìm hiểu về lăng trụ tam giác đều nhé! Qua bài dưới đây, bạn sẽ được sơ lược lại về định nghĩa, tính chất và một số công thức của hình lăng trụ và hình lăng trụ đứng. Đồng thời, học thêm về các công thức tính của hình lăng trụ tam giác đều. Bao gồm các công thức: tính diện tích đáy của hình lăng trụ tam giác đều, tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ tam giác đều và tính thể tích của hình lăng trụ tam giác đều.
Đầu tiên, để biết được lăng trụ tam giác đều là gì, hãy cũng mình tìm hiểu về khái niệm hình lăng trụ và lăng trụ đứng nhé.
1] Hình lăng trụ và hình lăng trụ đứng.
a] Định nghĩa và công thức về hình lăng trụ
Trong toán học không gian, hình lăng trụ được xác định là một loại đa diện. Loại đa diện này có 2 mặt đáy là các đa giác phẳng. Còn cách mặt còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành.
Theo công thức toán học, thể tích của hình lăng trụ sẽ được tính như sau:
V=B.h
Trong đó:
- V là thể tích hình lăng trụ.
- B là diện tích của mặt đáy.
- h là khoảng cách giữa 2 mặt đáy/chiều cao hình lăng trụ.
b] Định nghĩa và công thức về hình lăng trụ đứng
Hình lăng trụ đứng được xác định là hình lăng trụ có cạnh bên và mặt đáy vuông góc với nhau.
Thuật ngữ: Thông thường thì ta gặp hình lăng trụ đều có đáy là tam giác hoặc hình vuông trong nhiều bài toán. Người ta thường gọi tắt trường hợp đó với các thuật ngữ là hình lăng trụ tam giác đều, lăng trụ tứ giác đều.
Các tính chất cơ bản của hình lăng trụ đứng bao gồm:
- Mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật.
- Tất cả các mặt bên của hình lăng trụ đứng đều vuông góc với đáy.
Theo công thức toán học, diện tích của hình lăng trụ đứng được tính như sau:
- Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng = Tổng diện tích các mặt bên = [Chu vi đáy]x[Chiều cao]
- Diện tích toàn phần của lăng trụ đứng = Tổng diện tích các mặt bên và diện tích 2 đáy.
Cũng theo công thức toán học, diện tích hình lăng trụ đứng vẫn được tính theo công thức:
V = B.h
Trong đó,
- V là thể tích hình lăng trụ.
- B là diện tích của mặt đáy.
- h là chiều cao hình lăng trụ.
2] Hình lăng trụ tam giác đều
a] Định nghĩa hình lăng trụ tam giác đều
Hình lăng trụ tam giác đều được xác định là hình lăng trụ đứng với đáy là tam giác đều.
Hình mô tả của hình lăng trụ tam giác đều:
Như vậy, hình lăng trụ tam giác đều sẽ có các tính chất cơ bản sau:
- Hai đáy là hai tam giác đều và bằng nhau.
- Các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau.
- Các mặt bên và hai đáy vuông góc với nhau.
b] Các công thức toán học của lăng trụ tam giác đều
Theo toán học, lăng trụ tam giác đều có các công thức như sau:
- Diện tích đáy: S = a2 . [√3]/4.
Trong đó, a là chiều dài cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều.
- Diện tích xung quanh của lăng trụ tam giác đều = Tổng diện tích các mặt bên = [Chu vi đáy] x [Chiều cao] : S = 3.a.h.
- Diện tích toàn phần của lăng trụ tam giác đều = Tổng diện tích các mặt bên và diện tích 2 đáy: S = 3.a.h + a2 . [√3]/4.
Trong đó, a là chiều dài cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều, h là chiều cao của lăng trụ tam giác đều.
- Thể tích của lăng trụ tam giác đều = [Diện tích đáy] x [Chiều cao]: V = a2 . [√3]/4 . h
Trong đó, a là chiều dài cạnh đáy của lăng trụ tam giác đều, hi là chiều cao của lăng trụ tam giác đều.
c] Một số bài tập về hình lăng trụ tam giác đều
Bài tập 1: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ [đáy là tam giác ABC và A’B’C’] với chiều dài cạnh đáy AB của hình lăng trụ này là 4 cm. Đồng thời, biết được diện tích của hình tam giác A’BC là 8 cm2 . Hãy xác định chiều cao và thể tích của khối lăng trụ này.
Bài tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ [đáy là tam giác ABC và A’B’C’] với chiều cao AA’ của hình lăng trụ là 2 cm và diện tích của hình tam giác A’BC là 8 cm2 . Hãy xác định chiều dài cạnh đáy, diện tích đáy, diện tích toàn phần và thể tích của khối lăng trụ này.
Bài tập 3:
Tính thể tích V của khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AA′=BC=a.AA′=BC=a.
A. V=a33√12V=a3312
B. V=a33√4V=a334
C. V=a32√6V=a326
D. V=a33
Đáp án đúng: B
Lý giải: ABC là tam giác đều cạnh nên: SABC=a23√4.SABC=a234.
Khi đó VABC.A′B′C′=SABC.AA′=a33√4.VABC.A′B′C′=SABC.AA′=a334.
Bài tập 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a.
A. a32a32
B. a33√2a332
C. a33√4a334
D. a33√12a3312
Đáp án đúng: C
Lý giải: Khối lăng trụ của đáy là tam giác đều cạnh a, chiều cao h=a. Nên suy ra có thể tích là: V=Sday.h=a23√4.a=a33√4
Bài tập 5: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB=3cm; AD=6cm và độ dài đường chéo AC’=9cm . Tính thể tích V của hình hộp ABCD.A’B’C’D’?
A. V=108cm3V=108cm3
B. V=81cm3V=81cm3
C. V=102cm3V=102cm3
D. V=90cm3V=90cm3
Đáp án đúng: A
Lý giải: Ta có: AC=BD=AB2+AD2−−−−−−−−−−√=35√AC=BD=AB2+AD2=35
CC′=AC′2−AC2−−−−−−−−−−√=6CC′=AC′2−AC2=6
Vậy thể tích hình hộp là:VABCD.A′B′C′D′=3.6.6=108
Hi vọng các thông tin trên đây sẽ giúp ích cho bạn trong môn hình học không gian. Các công thức toán học về diện tích và thể tích của hình lăng trụ tam giác đều trên đây sẽ giúp bạn tính toán nhanh hơn. Chúc bạn học tập hiệu quả hơn nhé!