Đề bài
Xác định m để hàm số: \[y = {x^3} - m{x^2} + \left[ {m - \dfrac{2}{3}} \right]x + 5\] có cực trị tại \[x = 1\]. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng phương pháp điều kiện cần:
- Thay \[x = 1\] vào phương trình \[y' = 0\] tìm \[m\].
- Thay \[m\] vừa tìm được vào hàm số và kiểm tra.
Lời giải chi tiết
\[y = {x^3} - m{x^2} + \left[ {m - \dfrac{2}{3}} \right]x + 5\]
Ta có: \[y' = 3{x^2} - 2mx + m - \dfrac{2}{3}\]
Hàm số có cực trị tại \[x = 1\]\[ \Rightarrow y'\left[ 1 \right] = 3 - 2m + m - \dfrac{2}{3} = 0\]\[ \Leftrightarrow m = \dfrac{7}{3}\].
Thử lại, với \[m = \dfrac{7}{3}\] thì hàm số đã cho trở thành: \[y = {x^3} - \dfrac{7}{3}{x^2} + \dfrac{5}{3}x + 5\]
Ta có: \[y' = 3{x^2} - \dfrac{{14}}{3}x + \dfrac{5}{3}\]; \[y'' = 6x - \dfrac{{14}}{3}\]
Vì \[y''\left[ 1 \right] = 6 - \dfrac{{14}}{3} > 0\] nên hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 1\] và \[{y_{CT}} = y\left[ 1 \right] = \dfrac{{16}}{3}\].