Đề bài
Cho nửa đường tròn tâm \[O\], đường kính \[AB=2R\], \[Ax\] và \[By\] là hai tiếp tuyến với nửa đường tròn tại \[A\] và \[B\]. Lấy trên tia \[Ax\] điểm \[M\] rồi vẽ tiếp tuyến \[MP\] cắt \[By\] tại \[N\].
a/ Chứng minh rằng \[MON\] và \[APB\] là hai tam giác vuông đồng dạng.
b/ Chứng minh \[AM.BN = {R^2}.\]
c/ Tính tỉ số \[\dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}}\,khi\,AM = \dfrac{R}{2}.\]
d/ Tính thể tích của hình do nửa hình tròn \[APB\] quay quanh \[AB\] sinh ra.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và tính chất tứ giác nội tiếp
b] Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và hệ thức lượng trong tam giác vuông
c] Sử dụng: Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng
d] Thể tích hình cầu bán kính \[R\] là \[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\]
Lời giải chi tiết
a] \[MA//NB\] vì \[MA \bot AB\] và \[NB \bot AB.\]
Nên \[AMNB\] là hình thang \[\widehat M + \widehat N = 180^\circ \,\left[ 1 \right]\]
\[\widehat {{M_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat M\] và \[\widehat {{N_1}} = \dfrac{1}{2}\widehat N\,\,\,\,\,[2]\] theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.
\[ \Rightarrow \widehat {{N_1}} + \widehat {{M_1}} = 90^\circ ;\] Do đó, \[\widehat {MON} = 90^\circ \Rightarrow \Delta MON\] là tam giác vuông.
\[\Delta APB\] có \[\widehat {APB} = 90^\circ \] vì góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[\left[ {O;\dfrac{{AB}}{2}} \right]\]
Do đó, \[\Delta MON\] và \[\Delta MPO\] là hai tam giác vuông.
Theo tính chất điểm chính giữa cung ta có : \[MO \bot AP\] và \[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\]
\[ \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {{A_1}}\] vì là hai góc cùng phụ với hai góc bằng nhau\[\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}.\]
Vậy \[\Delta MPO \backsim \Delta MON\] vì tam giác vuông có \[\widehat {{M_1}}\] chung.
b] Xét \[\Delta MAO\] và \[\Delta NBO\] là hai tam giác vuông có \[\widehat {AMO} = \widehat {BON}\] vì cùng bằng \[90^\circ \Rightarrow \Delta MAO \backsim \Delta OBN.\]
Do đó \[\dfrac{{AM}}{{AO}} = \dfrac{{OB}}{{BN}}\] mà \[AO = OB = R \Rightarrow AM.BN = {R^2}.\]
c] Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có : \[AM = MP;BN = NP.\]
Từ câu b] ta có \[AM.BN = {R^2}\] \[ \Rightarrow BN = \dfrac{{{R^2}}}{{AM}}\] \[ \Rightarrow MN = \dfrac{R}{2} + 2R = \dfrac{{5R}}{2}\]
Suy ra \[M{N^2} = \dfrac{{25{R^2}}}{4} \Rightarrow \dfrac{{{S_{MON}}}}{{{S_{APB}}}} = \dfrac{{M{N^2}}}{{A{B^2}}}\]\[ = \dfrac{{25}}{{16}}.\]
d] Nửa hình tròn \[APB\] quay quanh \[AB\] sinh ra hình cầu bán kính \[R\]
Vậy \[V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}.\]