Đề bài
Cho tam giác \[ABC [AB < AC]\]. Vẽ đường cao \[AH\], đường phân giác \[AD\], đường trung tuyến \[AM\]. Có nhận xét gì về vị trí của ba điểm \[H, D, M\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Áp dụng: Tính chất đường phân giác của tam giác, quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác.
Lời giải chi tiết
Khi vẽ đường cao \[AH\], đường phân giác \[AD\] và đường trung tuyến \[AM\] [các điểm \[H,D,M\] đều thuộc cạnh \[BC\]], ta thấy rằng điểm \[D\] luôn luôn nằm giữa hai điểm \[H\] và \[M\] [h.52]. Nghĩa là đường phân giác luôn nằm giữa đường cao và đường trung tuyến. Ta có thể chứng minh được điều đó như sau:
Từ tính chất của đường phân giác, ta có \[\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}\]
Vì \[AB < AC\] [giả thiết], suy ra \[\dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} < 1\] \[ \Rightarrow DB < DC\] \[ \Rightarrow DB + DC < 2DC\]
\[ \Rightarrow BC < 2DC \Rightarrow \dfrac{{BC}}{2} < DC\] hay \[CM < DC\].
Vậy điểm \[D\] nằm bên trái điểm \[M\] [1]
Mặt khác, ta lại có:
\[\widehat {CAH} = {90^0} - \widehat C = \left[ {\dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} + \dfrac{{\widehat C}}{2}} \right] - \widehat C\] \[ = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2}\]
Vì \[AB < AC\] [giả thiết] nên \[\widehat B > \widehat C \Rightarrow \widehat B - \widehat C > 0\] \[ \Rightarrow \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2} > 0\]
Từ đó suy ra \[\widehat {CAH} = \dfrac{{\widehat A}}{2} + \dfrac{{\widehat B - \widehat C}}{2} > \dfrac{{\widehat A}}{2}\], nghĩa là \[\widehat {CAH} > \widehat {CAD}\]
Vậy tia \[AD\] phải nằm giữa tia \[AH\] và \[AC\] và suy ra điểm \[H\] phải nằm bên trái điểm \[D\] [2]
Từ các kết luận [1] và [2] ta suy ra điểm \[D\] luôn nằm giữa hai điểm \[H\] và \[M\] [đpcm].