Đề bài - bài 70 trang 141 sgk toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A.\) Trên tia đối của \(BC\) lấy điểm \(M\), trên tia đối của tia \(CB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(BM = CN.\)

a) Chứng minh rằng tam giác \(AMN\) là tam giác cân.

b) Kẻ \(BH AM\) (\(H \in AM\)), kẻ \(CK AN\; (K \in AN).\) Chứng minh rằng \(BH = CK.\)

c) Chứng minh rằng \(AH = AK.\)

d) Gọi \(O\) là giao điểm của \(HB\) và \(KC.\) Tam giác \(OBC\) là tam giác gì? Vì sao?

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\) và \(BM = CN = BC,\) hãy tính số đo các góc của tam giác \(AMN\) và xác định dạng của tam giác \(OBC.\)

Lời giải chi tiết

a) \(ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}\) (1)

\(\widehat {{B_1}} + \widehat {ABM} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (2)

\(\widehat {{C_1}} + \widehat {ACN} = {180^0}\) (hai góc kề bù) (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}\)

Xét \(ABM \) và \(ACN \) có:

\(AB = AC\) (\(ABC\) cân tại \(A\))

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên)

\(BM = CN\) (giả thiết)

\(\Rightarrow ABM = ACN\) (c.g.c)

\(\Rightarrow \widehat M = \widehat N\) (hai góc tương ứng)

Vậy \(AMN\) là tam giác cân tại \(A.\)

b) Xét hai tam giác vuông \(BHM\) (vuông tại \(H\)) và \(CKN\) (vuông tại \(K\)) có:

\(BM = CN\) (giả thiết)

\(\widehat M = \widehat N\)(chứng minh trên)

\( \Rightarrow BHM = CKN\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow BH = CK\) (hai cạnh tương ứng)

c) Theo câu a) ta có tam giác \(AMN\) cân ở \(A\) nên \(AM = AN\) (*)

Theo câu b ta có \(BHM = CKN\) nên suy ra \(HM = KN\) (2*).

Từ (*) và (2*) ta có: \(AH = AM HM = AN KN = AK\)

Vậy \(AH = AK.\)

d) \(BHM = CKN\) suy ra \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_3}}\) (2 góc đối đỉnh); \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_3}}\)(2 góc đối đỉnh)

Nên \(\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}\).

Vậy \(OBC\) là tam giác cân tại \(O.\)

e) Khi \(\widehat {BAC} = {60^o}\)và \(BM = CN = BC\) hình được vẽ lại như sau:

+ Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(\widehat {BAC} = {60^o}\)nên là tam giác đều hay \(AB = BC = AC\).

Mặt khác: \(BM = CN = BC\) (giả thiết)

Do đó: \(AB = BC = AC = BM = CN\).

Vì\(\Delta ABC\) đều nên \(\widehat {B_1} = \widehat {C_1} = {60^o}\)

Ta có \(\widehat {B_1}\) là góc ngoài tại đỉnh \(B\) của tam giác \(ABM\) nên \(\widehat M + \widehat {BAM}=\widehat {B_1}=60^0\) (***)

Vì \(AB = BM\) (chứng minh trên) nên \(ABM\) cân tại \(B\) suy ra \(\widehat M = \widehat {BAM}\)

Kết hợp với (***) ta có: \(\widehat M = \widehat {BAM}= \dfrac{60^0}{2}= {30^o}\).

Lại có \(\Delta AMN\) cân tại \(A\) (câu a)

Suy ra \(\widehat {ANM} = \widehat {AMN} = {30^o}\).

Theo định lý tổng ba góc trong tam giác \(AMN\) ta có:

\(\widehat {MAN} +{\widehat {AMN} + \widehat {ANM}}= {180^o} \)

\(\Rightarrow \widehat {MAN} = {180^o} - \left( {\widehat {AMN} + \widehat {ANM}} \right)\)

\( = {180^o} - ({30^o+30^0}) = {120^o}\)

Vậy \(AMN\) có \(\widehat M = \widehat N = {30^o};\widehat A = {120^o}.\)

+ \(BHM\) vuông tại \(H\) có: \(\widehat M = {30^o}\)nên \(\widehat {{B_2}} =90^0-\widehat M\)\(= 90^0-30^0={60^o}\)(trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra\(\widehat {{B_3}}=\widehat {{B_2}}= {60^o}\) (2 góc đối đỉnh)

Tam giác \(OBC\) cân (theo câu d) có \(\widehat {{B_3}} = {60^o}\)nên tam giác \(OBC\) là tam giác đều.