Phương trình lượng giác bậc cao
|
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ PHƯƠNG PHÁP CHUNG Chúng ta thực chất đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trong các chủ đề: - Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác - Phương trình đẳng cấp bậc hai và bậc cao đối với sin và cos. - Phương trình đối xứng Trong bài toàn này chúng ta xét thêm các trường hợp khác, bao gồm:
\(\begin{array}{l}\cot x = \frac{1}{t}\\\sin 2x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\,\,\cos 2x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}};\,\,\tan 2x = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\end{array}\)
Ví dụ 1: Giải phương trình \(\sin 4x = \tan x\) Giải ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Đặt \(t = \tan x\), suy ra phương trình có dạng: \(\begin{array}{l}2\sin 2x.\cos 2x = \tan x \Leftrightarrow 2\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = t \Leftrightarrow 4t\left( {1 - {t^2}} \right) = t{\left( {1 + {t^3}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow t\left( {{t^4} + 6{t^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\{t^2} = - 3 \pm \sqrt {12} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\{\tan ^2}x = \sqrt {12} - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x = \pm \sqrt {\sqrt {12} - 3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \alpha + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\) Vậy phương trình có ba họ nghiệm. Cách 2: Sử dụng phương pháp phân tích. Biến đổi phương trình về dạng: \(\begin{array}{l}\sin 4x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x\cos x = \sin x\\ \Leftrightarrow 4\sin x\cos x\cos 2x\cos x = \sin x \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^2}x\cos 2x - 1} \right)\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {2\left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2x - 1} \right]\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos 2x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos 2x = \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} = \cos 2\alpha \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\2x = \pm 2\alpha + 2k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \pm \alpha + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\) Vậy phương trình có ba họ nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình \(\cot x = \tan x + 2\tan 2x\) Giải ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow 4x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}\) Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ Đặt \(t = \tan x \Rightarrow \cot x = \frac{1}{t}\) và \(\tan 2x = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\) Khi đó phương trình có dạng: \(\begin{array}{l}\frac{1}{t} = t + \frac{{4t}}{{1 - {t^2}}} \Leftrightarrow 1 - {t^2} = {t^2}\left( {1 - {t^2}} \right) + 4{t^2}\\ \Leftrightarrow {t^4} - 6{t^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{t^2} - 1} \right)^2} = 4{t^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 1 = 2t\\{t^2} - 1 = - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 2t - 1 = 0\\{t^2} + 2t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \pm \sqrt 2 \\t = - 1 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1 - \sqrt 2 = \tan {\alpha _1}\\\tan x = 1 + \sqrt 2 = \tan {\alpha _2}\\\tan x = - 1 - \sqrt 2 = \tan {\alpha _3}\\\tan x = - 1 + \sqrt 2 = \tan {\alpha _4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha _1} + k\pi \\x = {\alpha _2} + k\pi \\x = {\alpha _3} + k\pi \\x = {\alpha _4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\) Vậy phương trình có 4 họ nghiệm. Cách 2: Sử dụng phương pháp luận hệ số để phân tích. Biến đổi phương trình về dạng: \(\begin{array}{l}\cot x - \tan 2x = \tan x + \tan 2x \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos x\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x\cos x - \sin 2x\sin x} \right)\cos x = \sin 3x\sin x\\ \Leftrightarrow \cos 3x\cos x - \sin 3x\sin x = 0 \Leftrightarrow \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm. Ví dụ 3: Cho phương trình \(4{\tan ^2}x + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) a) Giải phương trình với \(m = - 1\). b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) Giải ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) Viết lại phương trình dưới dạng: \(4\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right) + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 5 = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 1 = 0\) Đặt \(t = \frac{2}{{\cos x}}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right)\), khi đó phương trình có dạng: \(f\left( t \right) = {t^2} + 2mt + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) a) Với \(m = - 1\), ta được: \({t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\,\,\left( {ktm} \right)\) Vậy với \(m = - 1\) phương trình vô nghiệm. b) Phương trình (1) có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) \( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có nghiệm \(t \ge 2\) TH1: (2) có nghiệm \({t_1} \le 2 \le {t_2}\) TH2: (2) có nghiệm \(2 \le {t_1} \le {t_2}\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}af\left( 2 \right) \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\af\left( 2 \right) \ge 0\\\frac{S}{2} \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 5 \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 \ge 0\\4m + 5 \ge 0\\ - m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le - \frac{5}{4}\) Vậy với \(m \le - \frac{5}{3}\) thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\). Ví dụ 4: Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){\tan ^4}x - 3m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\tan ^2}x + \frac{{4m}}{{{{\cos }^4}x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) a) Giải phương trình với \(m = - \frac{9}{{37}}\) b) Tìm m để phương trình có nghiệm khác \(k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) Giải ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) Viết lại phương trình dưới dạng: \(\left( {m + 1} \right){\tan ^4}x - 3m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\tan ^2}x + 4m{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} = 0\) Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} \ne 0\) , ta được: \(\left( {m + 1} \right){\left( {\frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}} \right)^2} - 3m\frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} + 4m = 0\) Đặt \(t = \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}\,\,\left( {0 \le t < 1} \right)\), khi đó phương trình có dạng: \(\left( {m + 1} \right){t^2} - 3mt + 4m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\) a) Với \(m = - \frac{9}{{37}}\) ta được: \(\begin{array}{l}28{t^2} + 27t - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{4}\\t = \frac{{ - 12}}{7}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt 3 \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\) Vậy phương trình có hai họ nghiệm. b) Xét hai trường hợp TH1: Nếu \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) ta được: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm. TH2: Nếu \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1\) Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm \(t \in \left( {0;1} \right)\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( 2 \right)\,{\mathop{\rm co}\nolimits} \,1\,nghiem\, \in \left( {0;1} \right)\\\left( 2 \right)\,{\mathop{\rm co}\nolimits} \,2\,nghiem\, \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\af\left( 0 \right) > 0\\af\left( 1 \right) > 1\\0 < \frac{S}{2} < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{2}\) Vậy với \(m > - \frac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1: Giải các phương trình: a) \(1 + 3\sin 2x = 2\tan x\) c) \(6\tan x = \tan 2x\) b) \(1 + 3\tan x = 2\sin 2x\) d) \(\sin 2x + 2\tan x = 3\) Bài 2: Giải các phương trình: a) \(\cos x + \tan \frac{x}{2} = 1\) b) \(2 + \cos x = 2\tan \frac{x}{2}\) Bài 3: Giải các phương trình: a) \(\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x\) b) \(4{\sin ^2}x + 3{\tan ^2}x = 1\) c) \(3\sin x + \cos x - 4\cot \frac{x}{2} + 1 = 0\) d) \(\left( {\cos x - \sin x} \right)\cos x\sin x = \cos x\cos 2x\) Bài 4: Cho phương trình \({\cot ^2}x + \frac{m}{{\sin x}} + 2m - 1 = 0\) a) Giải phương trình với \(m = 1\). b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right)\). Bài 5: Cho phương trình \(4{\tan ^2}x - 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\tan x + \frac{4}{{{{\cos }^4}x}} = 0\) a) Giải phương trình với \(m = - 5\) b) Tìm m để phương trình có nghiệm. Bài 6: Cho phương trình: \(\left( {1 - a} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3a = 0\) a) Giải phương trình khi \(a = \frac{1}{2}\) b) Xác định a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Bài 7: Cho phương trình \(\frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + {\cos ^2}x + m\left( {\frac{2}{{\cos x}} + \cos x} \right) - 3 = 0\) a) Giải phương trình với \(m = - \frac{2}{3}\) b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Bài 8: Cho phương trình \(3\cos x + 4\sin x + \frac{6}{{3\cos x + 4\sin x + 1}} = m\) a) Giải phương trình với \(m = 6.\) b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\) Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây: Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 11 - Xem ngay >> Học trực tuyến Lớp 11 trên Tuyensinh247.com. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. |
