So phuc la gi

Số phức đối là gì, số phức đối của z là gì, cách biểu diễn như thế nào là một câu hỏi khiến khá nhiều bạn học sinh trung học phổ thông phải đau đầu. Vì thế dapanchuan.vn sẽ giúp các bạn tìm hiểu sâu hơn về số phức như thế nào nhé

Vậy số phức là gì?

Số phức nghe đến từ phức là tôi cũng thấy phức tạp và rối não cho các bạn học sinh, nhưng chúng ta ai trong đời cũng phải trải qua những bài tập như thế này thôi. Vì thế tôi muốn mang đến cho các bạn cái nhìn ngắn gọn nhất về số phức, các bạn theo dõi dưới đây nhé:

Số phức là số có thể viết dưới dạng 

, trong đó a và b là các số thực (số nguyên), a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo. Và  được xem là đơn vị ảo, qui ước  hay (Ví dụ :  là một số phức)

Tập hợp số phức được kí hiệu là C. Nếu z là số thực thì phần ảo b = 0, ngược lại, nếu z là số thuần ảo thì phần thực của z là a = 0.

Mỗi số phức z đều được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

. Trong đó a, b là các số thực. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng đại số của số phức z.

Số phức đối của z là gì

Số phức đối hiểu đơn giản là chuyển đổi âm thành dương hay dương thành âm. Nếu đề bài cho rằng tìm Số phức đối của z thì ta chỉ cần đổi ngược giá trị số phức thôi. Nếu số đó mang giá trị âm thì ta sẽ đổi thành giá trị dương.

-z = -a – bi là số phức đối của z = a + bi và z + (-z) = (-z) + z = 0.

Ví dụ:

z = 10 – 5i thì Số phức đối của z lúc này sẽ là -z= -10 + 5i

Cách Biểu diễn hình học của số phức:

Cho số phức z = a + bi (a,b nguyên). Xét trong mặt phẳng phức Oxy, z sẽ được biểu diễn bởi điểm M(a;b) hoặc bởi vector u = (a;b). Chú ý ở mặt phẳng phức, trục Ox còn được gọi là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo.

Hình chiếu của M(z) lên trục Ox là phần thực của z. Do đó trục Ox còn gọi là trục thực. Các số thực đều được biểu diển bởinằm trên trục Ox. Hình chiếu của M(z) lên trục Oy là phần ảo của z. Do đó trục Oy còn gọi là trục ảo. Các số thuần ảo đều được biểu diễn bởi điểm nằm trên trục Oy. Sô’ z và sô’ phức liên hợp của z được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng nhau qua trục thực. Mô đun của z chính là khoảng cách giữa điểm M(z) và gốc tọa độ.

Hi vọng với bài viết lần này của tôi các bạn đã biết như thế nào Số phức đối là gì, số phức đối của z là gì, cách biểu diễn ? từ đó có thêm kiến thức trong học tập nhé

Số phức là gì? Ứng dụng của số phức như nào? Kiến thức về các phép toán số phức? Thế nào là số phức nghịch đảo, số phức liên hợp?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết về chủ đề số phức, cùng tìm hiểu nhé!.

Mục lục

Tìm hiểu về số phức là gì?

Định nghĩa số phức là gì?

Số phức là biểu thức dạng a + bi trong đó a, b là số thực và \(i^{2}= -1\)
Đối với số phức z = a + bi thì ta nói a là phần thực, b là phần ảo của z, i là đơn vị ảo.
Tập hợp các số phức kí hiệu là C.

Nhận xét về số phức

• Mỗi số thực a đều được xem như là số phức với phần ảo b = 0
• Số phức z = a + bi có a = 0 được gọi là số thuần ảo hay là số ảo
• Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

Hai số phức bằng nhau

Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng bằng nhau.
Số phức z = a + bi và z’ = c + di bằng nhau \Leftrightarrow a = c và b = d
Ví dụ: tìm các số thực x, y biết (2x + 1) + 3yi = (x + 2) + (y + 2)i
Lời giải: Vì hai số phức bằng nhau nên \(\left\{\begin{matrix} 2x + 1 = x + 2 & \\ 3y = y + 2 & \end{matrix}\right.\)
Suy ra x = 1, y = 1

Mô đun của số phức

Khái niệm module của số phức là gì?

Giả sử M(a;b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi trên mặt phẳng tọa độ.
Độ dài của \(\vec{OM}\) chính là mô đun của số phức z. Kí hiệu là |z|.
Ta có: |z|=\(|\vec{OM}|\) = |a+bi|=\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

Số phức liên hợp là gì?

Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của z và kí hiệu là \(\bar{z}=a-bi\)
Ví dụ: z = 1 + 2i thì \(\bar{z}=1 – 2i\)

Một số tính chất của số phức liên hợp:

• 
   là một số thực.
• 
   =
  
• 
   =
  

Xem chi tiết >>> Số phức liên hợp là gì? Cách giải số phức bằng máy tính cầm tay Casio 

Biểu diễn hình học của số phức

Mỗi số phức z = a + bi được xác định được bởi cặp số thực (a; b)
Trên mặt phẳng Oxy, mỗi điểm M(a,b) được biểu diễn bởi một số phức và ngược lại.
Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức được gọi là mặt phẳng phức. Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo.

Các phép toán với số phức

Cộng trừ số phức

Số đối của số phức z = a + bi là -z = -a – bi
Phép cộng và trừ hai số phức được thực hiện theo quy tắc cộng trừ đa thức
Cho z = a + bi và z’ = c + di.  
Tổng quát: z + z’ = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
                   z – z’ = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Ví dụ: (5 + 2i) + (6 + i) = (5 + 6) + (2 + 1)i = 11 + 3i
          (5 + 2i) – (6 + i) = (5 – 6) + (2 – 1)i = -1 + i

Phép nhân số phức

Phép nhân số phức có tính chất như phép nhân số thực
Tổng quát: (a + bi)(c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
Ví dụ : (2 – 3i)(6 + 4i) = 12 + 8i – 18i – \(12i^{2}\) = 12 + 18i – 8i + 12 = 24 – 10i

Phép chia số phức

Số nghịch đảo của số phức \(z = a + bi \neq 0\) là \(z^{-1} = \frac{1}{z} = \frac{\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}\)
Hay \(\frac{1}{a + bi} = \frac{a – bi}{a^{2} + b^{2}}\)
Cho hai số phức \(z = a + bi \neq 0\) và \(z’ = a’ + b’i\)
Thì \(\frac{z}{z’} = \frac{z’\bar{z}}{\left | z \right |^{2}}\)
hay \(\frac{a’ + b’i}{a + bi} = \frac{(a’ + b’i)(a – bi)}{a^{2} + b^{2}}\)

Ví dụ: Tìm \(z=\frac{4+2i}{1+i}\)
Giải: Ta có z(1 + i) = 4 + 2i.
Nhân cả hai vế của phương trình trên với liên hợp của 1 + i là 1 – i ta được:
(1 + i)(1 – i)z = (1 – i)(4 + 2i)
=> 2z = 6 – 2i
=> z = 3 – i
Vậy: \(3-i=\frac{4+2i}{1+i}\)

Dạng lượng giác của số phức

Trong mặt phẳng phức cho số phức z với \(z\neq 0\) được biểu diễn bởi vector \(\vec{OM}\) với M(a;b).
Góc lượng giác \((\vec{Ox},\vec{OM}) = \varphi + 2k\pi , k\epsilon \mathbb{Z}\)
Số đo của mỗi góc lượng giác trên được gọi là một acgumen của z.
Gọi \(\varphi\) là một acgumen và r > 0 là mô đun của số phức z = a + bi khác 0 dạng lượng giác của z là:
\(z=r(acos\varphi +isin\varphi )\)
Với \(r=\sqrt{a^2+b^2}\)
và \(\varphi\) định bởi \(cos\varphi =\frac{a}{r}\) và \(sin\varphi =\frac{b}{r}\)
Ghi chú:

• |z| = 1 \(\Leftrightarrow\) \(z=(cos\varphi +isin\varphi )\), \(\varphi \in R\)
• z = 0 thì |z| = r = 0 nhưng acgumen của z không xác định xem như tùy ý.

Nhân chia số phức ở dạng lượng giác:
Cho \(z=r(cos\varphi +isin\varphi )\), \(z’=r’(cos\varphi’ +isin\varphi’)\) (r >0, r’ >0)
\(z.z’=r.r’(cos(\varphi+\varphi’) +isin(\varphi+\varphi’) )\)
\(\frac{z}{z’}=\frac{r}{r’}[cos(\varphi -\varphi ‘)+isin(\varphi -\varphi ‘)]\)
khi r > 0

Xem chi tiết >>> Số phức lượng giác và cách chuyển đổi số phức lượng giác

Ứng dụng của số phức là gì?

Sử dụng số phức vào giải hệ phương trình
Xét hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} f(x;y) = g(x;y) (1) & \\ h(x;y) = k(x;y) (2) & \end{matrix}\right.\)
Lấy (2) nhân i sau đó cộng/trừ (1) vế theo vế ta được:
f(x;y) + h(x;y)i = g(x;y) + k(x;y)i (*)
Đặt z = x + yi, biểu diễn (*) thông qua các đại lượng z, mô đun z…

Ví dụ: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x + \frac{3x – y}{x^{2}+y^{2}} = 3 (1) & \\ y = \frac{x + 3y}{x^{2} + y^{2}} (2)& \end{matrix}\right.\)
Giải: Lấy (2) nhân i sau đó cộng với (1) ta được:
\(x + yi + \frac{(3x-y)-(x + 3y)i}{x^{2} + y^{2}} = 3\)
\(\Leftrightarrow x + yi+ \frac{3(x – yi)}{x^{2} + y^{2}} – \frac{(x-yi)i}{x^{2} + y^{2}} = 3 (*)\)
Đặt z = x + yi với x, y \(\epsilon \mathbb{R}\).
\(\Rightarrow (*) \Leftrightarrow z + \frac{(3 – i)\bar{z}}{\left | z \right |^{2}} = 3 \Leftrightarrow z + \frac{(3 – i)}{z} = 3\)
\(\Leftrightarrow\) z = 2 + i hoặc z = 1 – i
\(x + yi = 2 + i \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 2 & \\ y = 1 & \end{matrix}\right.\)
\(x + yi = 1 – i \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1 & \\ y = -1 & \end{matrix}\right.\)
Vậy, nghiệm của hệ phương trình là: (x;y) = (2;1), (x;y) = (1,-1)

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức về số phức là gì cũng như những nội dung liên quan. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay góp ý xây dựng về chủ đề bài viết số phức là gì, các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn các bạn, đừng quên chia sẻ nếu thấy hay nhé <3