Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng y=(m-2)x +2 lớn nhất
|
Phương pháp giải: - Đưa hàm số về dạng phương trình bậc nhất ẩn \(m\): \(Am + B = 0\), tìm điều kiện để phương trình nghiệm đúng \(A = B = 0\), từ đó xác định điểm cố định \(M\) mà đường thẳng \(d\) đi qua. - Sử dụng định lí đường vuông góc và đường xiên, chứng minh \(d\left( {O;d} \right) \le OM\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow OM \bot d\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,y = \left( {m - 1} \right)x + 4m\\ \Leftrightarrow mx - x + 4m - y = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)m - x - y = 0\end{array}\) Phương trình trên đúng với mọi \(m\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 4 = 0\\ - x - y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = - 4\end{array} \right.\). \( \Rightarrow \) Đường thẳng \(\left( d \right)\) đi qua điểm \(M\left( {4; - 4} \right)\,\,\forall m\).  Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên đường thẳng \(d\), ta có \(d\left( {O;d} \right) = OH \le OM\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung). Do đó khoảng cách từ \(O\) đến đường thẳng \(d\) đạt GTLN khi và chỉ khi \(d\left( {O;d} \right) = OM = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 4 - 0} \right)}^2}} = 4\sqrt 2 \). Chọn C. Đáp án: a. $M(0; 2)$ $m = 2 - \sqrt{3}$ c. $m= 2$ Giải thích các bước giải: a. Giả sử M là điểm cố định của họ đường thẳng $y = (m - 2)x + 2$. Khi đó đường thẳng luôn đi qua điểm M với mọi giá trị của m. Xét $m = 2$, ta có: $y = 2$ Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm có tung độ bằng 2. Xét $m = 1$, ta có: $2 = (1 - 2).x + 2 \to - x + 2 = 2 \to x = 0$ Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qu điểm $M(0; 2)$ b. Giao điểm của đường thẳng với hai trục toạ độ: - Khi $x = 0 \to y = 2$. Do đó nó cắt trục tung tại điểm $M(0; 2)$ - Khi $y = 0 \to (m - 2).x + 2 = 0$ $\to (m - 2).x = - 2 \to x = \dfrac{- 2}{m - 2}$ Vậy đường thẳng cắt trục hoành tại điểm $N(\dfrac{- 2}{m - 2}; 0)$ Gọi H là chân đường vuông góc ket từ O đến đường thẳng đã cho. Ta có: $\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2}$ Hay: $\dfrac{1}{1^2} = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{(\dfrac{- 2}{m - 1})^2}$ Suy ra: $\dfrac{(m - 2)^2}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$ $\to \dfrac{(m - 2)^2 + 1}{4} = 1$ $\to (m - 2)^2 = 3$ *) $m - 2 = \sqrt{3} \to m = 2 + \sqrt{3}$ *) $m - 2 = - \sqrt{3} \to m = 2 - \sqrt{3}$ c. Tương tự như trên, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng $d$. Ta có: $\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{(m - 2)^2 + 1}{4}$ Do đó, $OH^2 = \dfrac{4}{(m - 2)^2 + 1}$ OH lớn nhất khi $OH^2$ lớn nhất, khi đó: $(m - 2)^2 + 1$ nhỏ nhất Vì: $(m - 2)^2 + 1 \geq 1 \to (m - 2)^2 + 1$ nhỏ nhất khi $m - 2) = 0 \to m = 2$ Đáp án: a. $M(0; 2)$ $m = 2 - \sqrt{3}$ c. $m= 2$ Giải thích các bước giải: a. Giả sử M là điểm cố định của họ đường thẳng $y = (m - 2)x + 2$. Khi đó đường thẳng luôn đi qua điểm M với mọi giá trị của m. Xét $m = 2$, ta có: $y = 2$ Vậy đường thẳng luôn đi qua điểm có tung độ bằng 2. Xét $m = 1$, ta có: $2 = (1 - 2).x + 2 \to - x + 2 = 2 \to x = 0$ Vậy đường thẳng đã cho luôn đi qu điểm $M(0; 2)$ b. Giao điểm của đường thẳng với hai trục toạ độ: - Khi $x = 0 \to y = 2$. Do đó nó cắt trục tung tại điểm $M(0; 2)$ - Khi $y = 0 \to (m - 2).x + 2 = 0$ $\to (m - 2).x = - 2 \to x = \dfrac{- 2}{m - 2}$ Vậy đường thẳng cắt trục hoành tại điểm $N(\dfrac{- 2}{m - 2}; 0)$ Gọi H là chân đường vuông góc ket từ O đến đường thẳng đã cho. Ta có: $\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{1}{OM^2} + \dfrac{1}{ON^2}$ Hay: $\dfrac{1}{1^2} = \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{(\dfrac{- 2}{m - 1})^2}$ Suy ra: $\dfrac{(m - 2)^2}{4} + \dfrac{1}{4} = 1$ $\to \dfrac{(m - 2)^2 + 1}{4} = 1$ $\to (m - 2)^2 = 3$ *) $m - 2 = \sqrt{3} \to m = 2 + \sqrt{3}$ *) $m - 2 = - \sqrt{3} \to m = 2 - \sqrt{3}$ c. Tương tự như trên, gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng $d$. Ta có: $\dfrac{1}{OH^2} = \dfrac{(m - 2)^2 + 1}{4}$ Do đó, $OH^2 = \dfrac{4}{(m - 2)^2 + 1}$ OH lớn nhất khi $OH^2$ lớn nhất, khi đó: $(m - 2)^2 + 1$ nhỏ nhất Vì: $(m - 2)^2 + 1 \geq 1 \to (m - 2)^2 + 1$ nhỏ nhất khi $m - 2) = 0 \to m = 2$
Với m = 2, (d) có phương trình y = 2. Khoảng cách từ gốc O tới d là 2. Với \(m\ne2\): OxydABH Từ O, kẻ OH vuông góc với đường thẳng (d) : y = (m - 2)x + 2 (H thuộc d) Gọi A, B là giao điểm của d với Oy và Ox. Ta tìm tọa độ của A và B. Với x = 0 \(\Rightarrow y=2\Rightarrow A\left(0;2\right)\Rightarrow OA=2.\) Với \(y=0\Rightarrow x=\frac{2}{2-m}\Rightarrow B\left(\frac{2}{2-m};0\right)\Rightarrow OB=\left|\frac{2}{2-m}\right|\) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{0A^2}+\frac{1}{OB^2}\Rightarrow\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{4}+\frac{\left(2-m\right)^2}{4}=\frac{1+\left(2-m\right)^2}{4}\) \(\Rightarrow OH=\frac{2}{\sqrt{1+\left(2-m\right)^2}}\) Do \(m\ne2\) nên \(\sqrt{1+\left(2-m\right)^2}>1\Rightarrow OH< 2.\) Vậy kết hợp cả hai trường hợp ta có max OH = 2 khi m = 2. Vậy khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ tới (d) là 2, khi m = 2.
Cho đường thẳng: y = (m - 2)x +2 (d).Tìm giá trị của m để khoảng cách từ gốc tọa dộ đến đường thẳng d bằng 1 Các câu hỏi tương tự
Cho hàm số y = ( m - 1 ) x + m + 3 có đồ thị là đường thẳng ( d ) . 1) Vẽ đồ thị hàm số với m = 1/2 2) Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất đồng biển , nghịch biển . 3) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm A ( 2 ; 5 ) . 4) Tìm m để đường thẳng ( d ) hợp với trục hoành một góc 60° , 150° . 5) Tìm m để đường thẳng ( d ) Có hệ số góc bằng 45 . 6) Tìm m để đường thẳng ( d ) song song với đường thẳng ( d1 ) : y = 2x + 1 . 7) Tìm m để đường thẳng ( d ) vuông góc với đường thẳng ( d2 ) : y = 5x - 7 . 8) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt đường thẳng ( d3 ) : y = 5x - 2 tại điểm có hoành độ bằng - 2 . 9) Tìm m để đường thẳng ( d ) cắt đường thẳng ( d4 ) : y = x - 7 tại điểm có tung độ bằng 1/2. 10) Gọi A lần lượt là giao điểm của đường thẳng ( d ) với trục hoành , trục tung . Tìm m để tam giác AOE có diện tích bằng 16 . 11) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d ) bằng 1/căn 10 12) Cho các đường thẳng : ( d5 ) : y = 3x - 1 và ( d6 ) : y = - x + 5 . Tìm giá trị của m để ba đường thẳng ( đ ) ( d5 ) , ( d6 ) đồng quy tại một điểm . 13) Tìm giá trị của m để đường thẳng ( d ) và đường thẳng ( d7 ) : y = 2x + 1 cắt nhau tại một điểm a) nằm trên trục hoành ; b) nằm trên trục tung ; c) nằm bên phải trực tung ; d) nằm bên trái trục tung ; e) nằm phía trên trục hoành ; f) nằm phía dưới trục hoành ; g) thuộc góc phần tư thứ ( I ) , thứ ( II ) , thứ ( 111 ) , thứ ( IV ) . 14) Chứng minh đường thẳng ( d ) luôn đi qua một điểm cố định . 15) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng ( d ) lớn nhất , nhỏ nhất . 16 ) Tìm m để khoảng cách từ điểm M ( 2 ; - 3 ) đến đường thẳng ( d ) lớn nhất , nhỏ nhất . 17 ) Tìm m để đường thẳng ( d ) tiếp xúc với đường tròn có tâm là gốc tọa độ , bản kinh bằng căn 5 tại điểm M ( 1 ; 2 ) . Cho đường thẳng (d) có phương trình y =(m-2)x+2 a, Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đt (d) =1 b, Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) lớn nhất |
