Video hướng dẫn giải - bài 8 trang 147 sgk giải tích 12
\(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);...;\ f\left( {{x}_{n}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);...;\ f\left( {{x}_{n}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\) Video hướng dẫn giải
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: LG a a) \(f(x) = 2x^3 3x^2 12x + 1\) trên đoạn \(\displaystyle \left[ { - 2 ; \, {5 \over 2}} \right].\) Phương pháp giải: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) ta làm như sau: +) Tìm các điểm \({{x}_{1}};\ {{x}_{2}};\ {{x}_{3}};...;\ {{x}_{n}}\) thuộc đoạn \(\left[ a;\ b \right]\) mà tại đó hàm số có đạo hàm \(f'\left( x \right)=0\) hoặc không có đạo hàm. +) Tính \(f\left( {{x}_{1}} \right);\ \ f\left( {{x}_{2}} \right);\ \ f\left( {{x}_{3}} \right);...;\ \ f\left( {{x}_{n}} \right)\) và \(f\left( a \right);\ f\left( b \right).\) +) So sánh các giá trị tìm được ở trên. Giá trị lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\) và giá trị nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên \(\left[ a;\ b \right]\). \(\begin{align}& \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=\max \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);...;\ f\left( {{x}_{n}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ & \underset{x\in \left[ a;\ b \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=\min \left\{ f\left( {{x}_{1}} \right);...;\ f\left( {{x}_{n}} \right);\ f\left( a \right);\ f\left( b \right) \right\}. \\ \end{align}\) Lời giải chi tiết: \(f(x) = 2x^3 3x^2 12x + 1 \) \( f(x) = 6x^2 6x 12\) \(f(x) = 0 x =-1\) hoặc \(x=2\) So sánh các giá trị: \(f(-2) = -3\); \( f(-1) = 8\); \(f(2) = -19\), \(\displaystyle f({5 \over 2}) = {{ - 33} \over 2}\) Suy ra: \(\eqalign{ LG b b) \( f(x) = x^2\ln x\) trên đoạn \(\left[ {1; \, e} \right].\) Lời giải chi tiết: \(f(x) = x^2 \ln x \) \( f(x)= 2x\ln x + x > 0, x [1, e]\) nên \(f(x)\) đồng biến. Do đó: \(\eqalign{ LG c c) \(f(x) = xe^{-x}\) trên nửa khoảng \([0; \, +).\) Lời giải chi tiết: \(f(x)= xe^{-x}\) \( f(x)=e^{-x}xe^{-x}= (1 x)e^{-x}\)nên: \(f(x) = 0 x = 1, f(x) > 0, x (0, 1)\) và \(f(x) < 0, x (1, +)\) nên: \(\displaystyle \mathop {\max }\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(1) = {1 \over e}.\) Ngoài ra \(f(x)= xe^{-x} \ge 0, x [0, +)\) và \(f(0) = 0\) suy ra \(\mathop {\min}\limits_{x \in {\rm{[}}0, + \infty )} f(x) = f(0) = 0\) LG d d) \(f(x) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\displaystyle\left[ {0; \,{{3\pi } \over 2}} \right].\) Lời giải chi tiết: \(f(x) = 2\sin x + \sin2 x \) \( f(x)= 2\cos x + 2\cos 2x\) \(f(x) = 0 \cos 2x = -\cos x \) \( 2x = ± (π x) + k2π\) \( \displaystyle x \in \left\{ { - \pi + k2\pi ;{\pi \over 3} + {{k2\pi } \over 3}} \right\}\) Trong khoảng \(\displaystyle\left[ {0,{{3\pi } \over 2}} \right]\), phương trình \(f(x) = 0\) chỉ có hai nghiệm là \(\displaystyle {x_1} = {\pi \over 3};{x_2} = \pi \) So sánh bốn giá trị: \(f(0) = 0\); \(\displaystyle f({\pi \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2};f(\pi ) = 0;f({{3\pi } \over 2}) = - 2\) Suy ra: \(\eqalign{
|