TẠP CHÍ //WWW.VATLYVIETNAM.ORGPHƯƠNG TRÌNH SÓNG SCHRÖDINGERNguyễn Anh Tuấn * [Opendoor2507]Bài viết được dịch từ bài giảng Math 55: Differential Equations của Gabriel Peterson, College of the Redwoods[Có thể tham khảo bản gốc tại //online.redwoods.edu/depts/science/chem/storage/Schrod/index.htm]Mục đích của bài này là giới thiệu một cách sơ lược về phương trình sóng Schrodinger, một trong những trụ cột của cơ họclượng tử. Để đảm bảo tính khúc triết và đơn giản, tác giả chỉ nhắc đến các phương trình sóng một chiều độc lập thời gian bằngcách hướng tới tiến trình lịch sử phát sinh ra phương trình này - một phần không thể thiếu của cơ học lượng tử.1. MỞ ĐẦUKhi buổi bình minh của thế kỷ mới tới gần, các nhà vật lýđang say sưa với cái mà các nhà thông thái Hilạp gọi là hubris– một sự kiêu căng tiêu cực, tự phụ, và sai trái. Quả thực là,Max Planck một chàng thanh niên đang hăm hở theo đuổi vậtlý, đã được chủ nhiệm Khoa Vật lý, Đại học Munich khuyênrằng: “Các khám phá quan trọng trong vật lý đều đã đượcthực hiện. Đừng mất công vào vật lý làm gì [Kotz và Treichel,320].” May thay, anh chàng đã không để ý tới lời khuyên này.Vật lý cổ điển – nghĩa là, cơ học Newton và lý thuyết điện từMaxwell – dường như đã giải thích cho mọi hiện tượng tựnhiên quan sát được. Đó là một vũ trụ tất định. Các hành tinh,không ngừng quay với sự chính xác khó hiểu của chúng; sựlên xuống của thuỷ triều; sự dao động của con lắc; cách thứccác vật trao đổi năng lượng và momentum; các sóng ánh sánglan truyền trong không gian – lẽ nào tất cả chúng không tuântheo mô hình xác định luận? Chỉ cần đưa ra một vài điều kiệnban đầu của vũ trụ, tất cả các hành vi tương lai của nó sẽ đượctính toán.Than ôi, như thường thấy trong khoa học, một cơn khủnghoảng đã xảy đến với vật lý cổ điển: nó sai lầm khi giải thíchmột hiện tượng quan trọng. Đó là tai biến tử ngoại, và đứng ởtrung tâm của tai biến này chính là chàng trai đã nản với việctheo đuổi vật lý vì lý do: người ta đã khám phá gần hết ngoạitrừ một vài chi tiết phụ, chàng thanh niên đó là Max Planck.Một vật hấp thụ tất cả các bức xạ chiếu tới gọi là vật đentuyệt đối. Một vật đen gần như tuyệt đối có thể tạo ra bằngcách dùng một hốc có khe hở rất nhỏ. Chỉ một phần khôngđáng kể bức xạ đi vào hốc thoát được ra ngoài. Sự bức xạnăng lượng đặc trưng của vật đen – đúng như tên gọi của nó –là không thấy được, mà nó nằm trong vùng hồng ngoại củaphổ điện từ. Trong vật lý cổ điển, hàm phân bố phổ được chobởi định luật Raleigh-Jeans,8πkTP[ λ, T]= [1.1]4λTrong đó lambda là bước sóng, T là nhiệt độ, và k là hằngsố Boltzmann. Giá trị rút ra từ định luật phù hợp rất tốt vớithực nghiệm trong vùng bước sóng dài. Tuy nhiên, khilambda xấp xỉ không, công thức trên cho thấy vật sẽ bức xạmột lượng vô cùng lớn năng lượng tại các bước sóng cựcngắn, ở vùng tử ngoại.Ý tưởng của mô hình này là các bức xạ lan truyền trongkhông gian và trao đổi năng lượng giống như một sóng. Nghĩalà, nó liên tục, không định xứ, và lan toả. Newton đã từng có ýkiến đối lập cho rằng nó truyền đi như các hạt rời rạc gọi làcorpuscles. Tuy vậy, các thí nghiệm sau đó về giao thoa vànhiễu xạ đã cho thấy ánh sáng là sóng. Phương pháp củaPlanck là phải thay đổi mô hình. Vì mụch tiêu phát triển mộtmô hình chính xác, giả thiết rằng năng lượng bức xạ hay hấpthụ bởi vật đen theo các phần gián đoạn gọi là quanta, giốngnhư các hạt. Ông đã xác định được hệ thức năng lượng nhưsau:E = nh .. f[1.2]Năng lượng được cho bởi một số nguyên n nhân với hằngsố Panck h và tần số bức xạ f. Tuy nhiên ông nhấn mạnh đâykhông phải là cách thức thực tế của tự nhiên, nó chỉ đơn thuầnlà mô hình. Quả thực, vài năm sau đó khi Einstein sử dụngnguyên lý này để giải thích hiệu ứng quang điện, Planck đãnghi ngờ tính đúng đắn của luận cứ này.Mặc dù ban đầu ông không đánh giá đúng về nó, nhưngPlanck đã mở cánh cửa cho một mô hình mới mà hầu nhưkhông một lĩnh vực khoa học nào không động tới nói: cơ họclượng tử. Cụ thể, ông đã vấp phải một vấn đề gai góc đó làlưỡng tính sóng hạt. Ánh sáng có vẻ lan truyền giống nhưsóng và trao đổi năng lượng như là hạt. Einstein đã bình luậnvề tính phản trực giác của sự lưỡng phân này như sau:"50năm nghiền ngẫm cũng không đưa tôi đến giải đáp cho câuhỏi, “lượng tử sáng là cái gì?” Tất nhiên ngày nay mọi ngườiđều nghĩ rằng ông ấy biết câu trả lời, ông ấy chỉ tự dối mình[Knight, 442]".Một chàng trai trẻ tới từ Pháp, một sinh viên Vật Lý mớira trường, Louis-Victor de Broglie. Cho rằng khái niệm lượngtử ánh sáng của Planck và Einstein được mở rộng. Là gì nếukhông chỉ ánh sáng thể hiện lưỡng tính sóng hạt? Là gì nếumột điện tử hay một proton hoặc một quả bóng chầy hay mộthành tinh thể hiện tính chất lưỡng tính này? Và điều này chỉ* E-mail: ẬP 1, SỐ 1, NĂM 2007
> Chức năng sóng
Đọc về hàm sóng và lý thuyết xác suất của cơ học lượng tử: bản chất của phương trình Schrödinger, trạng thái của hạt lượng tử, dao động điều hòa, biểu đồ.
Chúng ta đang nói về biên độ xác suất trong cơ học lượng tử, nó mô tả trạng thái lượng tử của một hạt và hành vi của nó.
Thử thách học tập
- Kết hợp hàm sóng và mật độ xác suất để xác định hạt.
Những điểm chính
- | ψ | 2 [x] tương ứng với mật độ xác suất của việc xác định hạt tại một địa điểm và thời điểm cụ thể.
- Các định luật của cơ học lượng tử đặc trưng cho sự phát triển của hàm sóng. Phương trình Schrödinger giải thích tên của nó.
- Hàm sóng phải thỏa mãn nhiều ràng buộc toán học để tính toán và giải thích vật lý.
Điều kiện
- Phương trình Schrödinger là một vi phân riêng đặc trưng cho sự thay đổi trạng thái của một hệ thống vật lý. Nó được xây dựng vào năm 1925 bởi Erwin Schrödinger.
- Dao động điều hòa - một hệ mà khi dịch chuyển khỏi vị trí ban đầu thì chịu tác dụng của lực F tỉ lệ với độ dời x.
Trong cơ học lượng tử, hàm sóng phản ánh biên độ xác suất đặc trưng cho trạng thái lượng tử của một hạt và hành vi của nó. Thông thường giá trị là một số phức. Các ký hiệu phổ biến nhất cho hàm sóng là ψ [x] hoặc Ψ [x]. Mặc dù ψ là một số phức, | ψ | 2 - thực và tương ứng với mật độ xác suất của việc tìm thấy một hạt ở một địa điểm và thời gian cụ thể.
Quỹ đạo của dao động điều hòa trong hệ thức cổ điển [AB] và lượng tử [NS-H] cơ học. Quả cầu lượng tử có hàm sóng được hiển thị với một phần thực màu xanh lam và một phần ảo màu đỏ. Quỹ đạoNS-F là những ví dụ về sóng dừng. Mỗi tần số như vậy sẽ tỷ lệ với mức năng lượng có thể có của bộ dao động.
Các định luật của cơ học lượng tử phát triển theo thời gian. Hàm sóng tương tự như các hàm khác, chẳng hạn như sóng trong nước hoặc một chuỗi. Thực tế là công thức Schrödinger là một loại phương trình sóng trong toán học. Điều này dẫn đến tính hai mặt của các hạt sóng.
Hàm sóng phải tuân thủ các hạn chế:
- luôn luôn hữu hạn.
- luôn luôn liên tục và liên tục có thể phân biệt.
- thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa tương ứng để hạt tồn tại với độ chắc chắn 100%.
Nếu các yêu cầu không được đáp ứng, thì hàm sóng không thể được hiểu là một biên độ xác suất. Nếu chúng ta bỏ qua các vị trí này và sử dụng hàm sóng để xác định các quan sát của một hệ lượng tử, chúng ta sẽ không nhận được các giá trị hữu hạn và xác định.
thuyết nhị nguyên sóng hạt trong vật lý lượng tử mô tả trạng thái của một hạt sử dụng hàm sóng [$ \ psi [\ overrightarrow [r], t] $ - psi-function].
Định nghĩa 1
Hàm sóng là một hàm được sử dụng trong cơ học lượng tử. Nó mô tả trạng thái của một hệ thống có các chiều trong không gian. Nó là một vector trạng thái.
Chức năng này phức tạp và chính thức có tính chất sóng. Chuyển động của bất kỳ hạt nào trong mô hình thu nhỏ được xác định bởi các định luật xác suất. Phân bố xác suất được tiết lộ khi một số lượng lớn các quan sát [phép đo] hoặc một số lượng lớn các hạt được thực hiện. Phân bố kết quả tương tự như phân bố cường độ sóng. Có nghĩa là, ở những nơi có cường độ cực đại, số lượng hạt tối đa đã được ghi nhận.
Tập hợp các đối số của hàm sóng xác định cách biểu diễn của nó. Vì vậy, có thể biểu diễn tọa độ: $ \ psi [\ overrightarrow [r], t] $, biểu diễn xung: $ \ psi "[\ overrightarrow [p], t] $, v.v.
Trong vật lý lượng tử, mục tiêu không phải là dự đoán chính xác một sự kiện mà là ước tính khả năng xảy ra một sự kiện. Biết giá trị của xác suất, các giá trị trung bình của các đại lượng vật lý tìm được. Hàm sóng cho phép bạn tìm các xác suất tương tự.
Vì vậy, xác suất xuất hiện của một vi hạt ở thể tích dV tại thời điểm t có thể được xác định là:
trong đó $ \ psi ^ * $ là hàm liên hợp phức với hàm $ \ psi. $ Mật độ xác suất [xác suất trên một đơn vị thể tích] là:
Xác suất là đại lượng có thể quan sát được bằng thực nghiệm. Đồng thời, hàm sóng không có sẵn để quan sát, vì nó rất phức tạp [trong vật lý cổ điển, các tham số đặc trưng cho trạng thái của một hạt có sẵn để quan sát].
Điều kiện chuẩn hóa cho $ \ psi $ - các hàm
Hàm sóng được xác định với một hệ số không đổi tùy ý. Thực tế này không ảnh hưởng đến trạng thái của hạt mà hàm $ \ psi $ - mô tả. Tuy nhiên, hàm sóng được chọn theo cách mà nó thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa:
trong đó tích phân được lấy trên toàn bộ không gian hoặc trên vùng mà trong đó hàm sóng không bằng không. Điều kiện chuẩn hóa [2] có nghĩa là hạt hiện diện một cách đáng tin cậy trong toàn bộ khu vực nơi $ \ psi \ ne 0 $. Hàm sóng tuân theo điều kiện chuẩn hóa được gọi là chuẩn hóa. Nếu $ [\ left | \ psi \ right |] ^ 2 = 0 $, thì điều kiện này có nghĩa là có thể không có hạt nào trong vùng được khảo sát.
Có thể chuẩn hóa dạng [2] đối với một phổ giá trị riêng rời rạc.
Điều kiện chuẩn hóa có thể không khả thi. Vì vậy, nếu hàm $ \ psi $ - là một sóng phẳng de Broglie và xác suất tìm thấy một hạt là như nhau đối với tất cả các điểm trong không gian. Những trường hợp này được coi là một mô hình lý tưởng, trong đó hạt có mặt trong một vùng không gian rộng lớn, nhưng có giới hạn.
Nguyên lý chồng chất hàm sóng
Nguyên lý này là một trong những định đề cơ bản của lý thuyết lượng tử. Ý nghĩa của nó như sau: nếu đối với một số hệ thống có trạng thái được mô tả bởi các hàm wave $ \ psi_1 \ [\ rm và] \ $ $ \ psi_2 $, thì đối với hệ thống này có trạng thái:
trong đó $ C_ [1 \] và \ C_2 $ là các hệ số không đổi. Nguyên tắc chồng chất được xác nhận theo kinh nghiệm.
Chúng ta có thể nói về việc bổ sung bất kỳ số trạng thái lượng tử nào:
trong đó $ [\ left | C_n \ right |] ^ 2 $ là xác suất hệ thống được tìm thấy ở trạng thái được mô tả bởi hàm sóng $ \ psi_n. $ Đối với các hàm sóng tuân theo điều kiện chuẩn hóa [2], điều kiện sau là thỏa mãn:
Trạng thái tĩnh
Trong lý thuyết lượng tử, trạng thái tĩnh [trạng thái mà tất cả các thông số vật lý có thể quan sát được không thay đổi theo thời gian] đóng một vai trò đặc biệt. [Về nguyên tắc, bản thân hàm sóng không thể quan sát được]. Ở trạng thái tĩnh, hàm $ \ psi $ - có dạng:
trong đó $ \ omega = \ frac [E] [\ hbar] $, $ \ psi \ left [\ overrightarrow [r] \ right] $ không phụ thuộc vào thời gian, $ E $ là năng lượng hạt. Ở dạng [3] của hàm sóng, mật độ xác suất [$ P $] là một hằng số thời gian:
Từ các tính chất vật lý của trạng thái tĩnh, các yêu cầu toán học cho hàm sóng $ \ psi \ left [\ overrightarrow [r] \ right] \ to \ [\ psi [x, y, z]] $ tuân theo.
Yêu cầu toán học đối với hàm sóng cho trạng thái tĩnh
$ \ psi \ left [\ overrightarrow [r] \ right] $ - hàm phải ở tất cả các điểm:
- tiếp diễn,
- rõ ràng
- là hữu hạn.
Nếu thế năng có bề mặt gián đoạn, thì trên bề mặt đó, hàm $ \ psi \ left [\ overrightarrow [r] \ right] $ và đạo hàm bậc nhất của nó phải liên tục. Trong vùng không gian nơi thế năng trở nên vô hạn, $ \ psi \ left [\ overrightarrow [r] \ right] $ phải bằng không. Tính liên tục của hàm $ \ psi \ left [\ overrightarrow [r] \ right] $ yêu cầu điều đó trên bất kỳ ranh giới nào của vùng này $ \ psi \ left [\ overrightarrow [r] \ right] = 0 $. Điều kiện liên tục được áp dụng cho các đạo hàm riêng của hàm sóng [$ \ frac [\ một phần \ psi] [\ một phần x], \ \ frac [\ một phần \ psi] [\ một phần y], \ frac [\ một phần \ psi] [\ một phần z] $].
ví dụ 1
Bài tập:Đối với một số hạt, hàm sóng có dạng: $ \ psi = \ frac [A] [r] e ^ [- [r] / [a]] $, trong đó $ r $ là khoảng cách từ hạt tới trọng tâm của lực [Hình 1], $ a = const $. Áp dụng điều kiện chuẩn hóa, tìm hệ số chuẩn hóa A.
Bức tranh 1.
Dung dịch:
Hãy để chúng tôi viết điều kiện chuẩn hóa cho trường hợp của chúng tôi dưới dạng:
\ [\ int [[\ left | \ psi \ right |] ^ 2dV = \ int [\ psi \ psi ^ * dV = 1 \ left [1.1 \ right],]] \]
trong đó $ dV = 4 \ pi r ^ 2dr $ [xem Hình 1 Rõ ràng là từ các điều kiện bài toán có đối xứng cầu]. Từ các điều kiện của bài toán, chúng ta có:
\ [\ psi = \ frac [A] [r] e ^ [- [r] / [a]] \ to \ psi ^ * = \ frac [A] [r] e ^ [- [r] / [a ]] \ left [1.2 \ right]. \]
Thay thế $ dV $ và các hàm wave [1.2] vào điều kiện chuẩn hóa:
\ [\ int \ limit ^ [\ infty] _0 [\ frac [A ^ 2] [r ^ 2] e ^ [- [2r] / [a]] 4 \ pi r ^ 2dr = 1 \ left [1.3 \ đúng].] \]
Hãy tích hợp ở phía bên trái:
\ [\ int \ limit ^ [\ infty] _0 [\ frac [A ^ 2] [r ^ 2] e ^ [- [2r] / [a]] 4 \ pi r ^ 2dr = 2 \ pi A ^ 2a = 1 \ left [1,4 \ right].] \]
Từ công thức [1.4], chúng tôi biểu thị hệ số yêu cầu:
Bài giải:$ A = \ sqrt [\ frac [1] [2 \ pi a]]. $
Ví dụ 2
Bài tập: Khoảng cách có thể xảy ra nhất [$ r_B $] của một electron từ hạt nhân là bao nhiêu nếu hàm sóng mô tả trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử hydro có thể được xác định là: $ \ psi = Ae ^ [- [r] / [a]] $, trong đó $ r $ là khoảng cách từ electron đến hạt nhân, $ a $ là bán kính Bohr đầu tiên?
Dung dịch:
Chúng tôi sử dụng công thức xác định xác suất có mặt của một vi hạt trong khối lượng $ dV $ tại thời điểm $ t $:
trong đó $ dV = 4 \ pi r ^ 2dr. \ $ Do đó, chúng ta có:
Trong trường hợp này, chúng ta có thể viết $ p = \ frac [dP] [dr] $ dưới dạng:
Để xác định khoảng cách có thể xảy ra nhất, đạo hàm $ \ frac [dp] [dr] $ được tính bằng 0:
\ [[\ left. \ frac [dp] [dr] \ right |] _ [r = r_B] = 8 \ pi rA ^ 2e ^ [- [2r] / [a]] + 4 \ pi r ^ 2A ^ 2e ^ [- [2r] / [a]] \ left [- \ frac [2] [a] \ right] = 8 \ pi rA ^ 2e ^ [- [2r] / [a]] \ left [1- \ frac [r] [a] \ right] = 0 [2.4] \]
Vì giải pháp $ 8 \ pi rA ^ 2e ^ [- [2r_B] / [a]] = 0 \ \ [\ rm for] \ \ r_B \ to \ infty $ không hoạt động với chúng tôi, nên nó bị loại bỏ:
Việc phát hiện ra tính chất sóng của vi hạt chỉ ra rằng cơ học cổ điển không thể đưa ra mô tả chính xác về hành vi của các hạt như vậy. Một lý thuyết bao gồm tất cả các thuộc tính của các hạt cơ bản phải tính đến không chỉ các tính chất tiểu thể của chúng, mà còn tính đến các đặc tính sóng. Từ các thí nghiệm đã xét trước đó, ta thấy rằng chùm hạt cơ bản có tính chất của sóng phẳng truyền theo phương của vận tốc hạt. Trong trường hợp lan truyền dọc theo trục, quá trình sóng này có thể được mô tả bằng phương trình sóng de Broglie [7.43.5]:
đâu là năng lượng, là động lượng của hạt. Khi lan truyền theo một hướng tùy ý:
Hãy gọi hàm là một hàm sóng và tìm hiểu ý nghĩa vật lý của nó bằng cách so sánh sự nhiễu xạ của sóng ánh sáng và vi hạt.
Theo khái niệm sóng về bản chất của ánh sáng, cường độ của hình ảnh nhiễu xạ tỷ lệ với bình phương biên độ của sóng ánh sáng. Theo lý thuyết photon, cường độ được xác định bởi số lượng photon rơi vào một điểm nhất định của hình ảnh nhiễu xạ. Do đó, số lượng photon tại một điểm nhất định trong hình ảnh nhiễu xạ được tính bằng bình phương biên độ của sóng ánh sáng, trong khi đối với một photon, bình phương biên độ xác định xác suất của một photon chạm vào một điểm cụ thể.
Dạng nhiễu xạ quan sát được đối với các vi hạt cũng được đặc trưng bởi sự phân bố không đều của các thông lượng vi hạt. Sự hiện diện của cực đại trong hình ảnh nhiễu xạ theo quan điểm của lý thuyết sóng có nghĩa là các hướng này tương ứng với cường độ cao nhất của sóng de Broglie. Cường độ càng lớn khi số lượng hạt càng lớn. Do đó, dạng nhiễu xạ của các vi hạt là biểu hiện của tính đều đặn thống kê và chúng ta có thể nói rằng kiến thức về loại sóng de Broglie, tức là Ψ-chức năng, cho phép bạn đánh giá xác suất của một hoặc một trong các quy trình có thể xảy ra.
Vì vậy, trong cơ học lượng tử, trạng thái của các vi hạt được mô tả theo một cách mới về cơ bản - với sự trợ giúp của hàm sóng, là chất mang thông tin chính về các đặc tính sóng và hạt của chúng. Xác suất tìm thấy một hạt trong một phần tử có khối lượng là
Số lượng
có ý nghĩa về mật độ xác suất, tức là xác định xác suất tìm thấy một hạt trong một đơn vị thể tích trong vùng lân cận của một điểm nhất định. Do đó, ý nghĩa vật lý không phải là bản thân hàm, mà là bình phương mô đun của nó, thiết lập cường độ của sóng de Broglie. Xác suất tìm thấy một hạt tại một thời điểm trong một thể tích hữu hạn, theo định lý cộng xác suất, là
Vì hạt tồn tại, nó phải được tìm thấy ở đâu đó trong không gian. Xác suất của một sự kiện đáng tin cậy bằng một, khi đó
Biểu thức [7.44.6] được gọi là điều kiện chuẩn hóa xác suất. Hàm sóng đặc trưng cho xác suất phát hiện hoạt động của một vi hạt trong phần tử thể tích phải là hữu hạn [xác suất không được nhiều hơn một], rõ ràng [xác suất không được là giá trị không rõ ràng] và liên tục [xác suất không thể thay đổi đột ngột].
Hàm sóng
Hàm sóng
Hàm sóng
[hay vectơ trạng thái] là một hàm phức hợp mô tả trạng thái của một hệ cơ lượng tử. Kiến thức của cô ấy cho phép bạn có được thông tin đầy đủ nhất về hệ thống, về nguyên tắc có thể đạt được trong mô hình thu nhỏ. Vì vậy, với sự trợ giúp của nó, có thể tính toán tất cả các đặc tính vật lý có thể đo được của hệ thống, xác suất tồn tại của nó ở một nơi nhất định trong không gian và sự tiến hóa theo thời gian. Hàm sóng có thể được tìm thấy bằng cách giải phương trình sóng Schrödinger.
Hàm sóng ψ [x, y, z, t] ψ ψ [x, t] của một hạt không có cấu trúc điểm là một hàm phức của tọa độ của hạt này và thời gian. Ví dụ đơn giản nhất về một hàm như vậy là hàm sóng của một hạt tự do với động lượng và tổng năng lượng E [sóng phẳng]
Hàm sóng của hệ A gồm các hạt chứa tọa độ của tất cả các hạt: ψ [1, 2, ..., A, t]. Bình phương của môđun của hàm sóng của một hạt riêng lẻ | ψ [, t] | 2 = ψ * [, t] ψ [, t] cho xác suất phát hiện một hạt tại thời điểm t tại một điểm trong không gian được mô tả bằng tọa độ, cụ thể là, | ψ [, t] | 2 đv ≡ | ψ [x, y, z, t] | 2 dxdydz là xác suất tìm thấy hạt trong vùng không gian có thể tích dv = dxdydz xung quanh điểm x, y, z. Tương tự, xác suất tìm thấy tại thời điểm t một hệ A gồm các hạt có tọa độ 1, 2, ..., A trong một phần tử thuộc thể tích của không gian nhiều chiều được cho bởi | ψ [1, 2, ..., A, t] | 2 đv 1 đv 2 ... đv A.
Hàm sóng hoàn toàn xác định tất cả các đặc tính vật lý của một hệ lượng tử. Vì vậy giá trị quan sát trung bình của đại lượng vật lý F đối với hệ được cho bởi biểu thức
đâu là toán tử của đại lượng này và sự tích hợp được thực hiện trên toàn bộ vùng của không gian đa chiều. Thay vì tọa độ của các hạt x, y, z, là các biến độc lập của hàm sóng, mômen của chúng p x, p y, p z hoặc các tập đại lượng vật lý khác có thể được chọn. Sự lựa chọn này phụ thuộc vào cách biểu diễn [tọa độ, xung hoặc khác].
Hàm sóng ψ [, t] của một hạt không tính đến các đặc tính bên trong và bậc tự do của nó, tức là nó mô tả chuyển động của nó như một vật thể [điểm] không cấu trúc dọc theo một quỹ đạo [quỹ đạo] nhất định trong không gian. Những đặc điểm bên trong của một hạt có thể là spin, độ xoắn, isospin [đối với các hạt tương tác mạnh], màu sắc [đối với hạt quark và gluon], và một số đặc điểm khác. Các đặc tính bên trong của một hạt được thiết lập bởi một hàm sóng đặc biệt của trạng thái bên trong của nó. Trong trường hợp này, hàm sóng tổng của hạt Ψ có thể được biểu diễn dưới dạng tích của hàm của chuyển động quỹ đạo ψ và hàm bên trong φ:
vì thông thường các đặc tính bên trong của một hạt và bậc tự do của nó, mô tả chuyển động của quỹ đạo, không phụ thuộc vào nhau.
Ví dụ, chúng ta sẽ tự giới hạn mình trong trường hợp đặc tính bên trong duy nhất được hàm tính đến là spin của hạt, và spin này bằng 1/2. Một hạt có spin như vậy có thể ở một trong hai trạng thái - với phép chiếu spin trên trục z bằng +1/2 [quay lên] và với phép chiếu spin trên trục z bằng -1/2 [ quay xuống]. Tính đối ngẫu này được mô tả bởi một hàm spin được thực hiện dưới dạng một spinor hai thành phần:
Khi đó hàm sóng Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ sẽ mô tả chuyển động của một hạt có spin 1/2 hướng lên trên dọc theo quỹ đạo được xác định bởi hàm ψ, và hàm sóng Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ sẽ mô tả chuyển động dọc theo cùng một quỹ đạo của cùng một hạt, nhưng có chuyển động quay xuống.
Kết luận, chúng ta lưu ý rằng trong cơ học lượng tử, những trạng thái như vậy có thể xảy ra mà không thể được mô tả bằng cách sử dụng hàm sóng. Các trạng thái như vậy được gọi là hỗn hợp và chúng được mô tả trong khuôn khổ của một cách tiếp cận phức tạp hơn bằng cách sử dụng khái niệm ma trận mật độ. Các trạng thái của một hệ lượng tử được mô tả bởi hàm sóng được gọi là thuần túy.
Để mô tả các tính chất sóng hạt của electron trong cơ học lượng tử, hàm sóng được sử dụng, được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp psi [T]. Các thuộc tính chính của hàm sóng như sau:
- tại bất kỳ điểm nào trong không gian có tọa độ x, y, z nó có một dấu hiệu và biên độ xác định: BHD:, tại, NS];
- bình phương của môđun của hàm sóng | BHx, y, z]| 2 bằng xác suất tìm thấy một hạt trong một đơn vị thể tích, tức là mật độ xác suất.
Mật độ xác suất phát hiện một electron ở các khoảng cách khác nhau từ hạt nhân của nguyên tử được mô tả theo một số cách. Nó thường được đặc trưng bởi số điểm trên một đơn vị thể tích [Hình 9.1, Một]. Hình ảnh chấm mật độ xác suất giống như một đám mây. Nói về một đám mây điện tử, cần lưu ý rằng một điện tử là một hạt đồng thời thể hiện cả hai dạng hạt và sóng
Lúa gạo. 9.1.
tính chất. Vùng xác suất phát hiện electron không có ranh giới rõ ràng. Tuy nhiên, có thể chọn một không gian mà xác suất phát hiện ra nó là cao hoặc thậm chí là tối đa.
Trong bộ lễ phục. 9.1, Mộtđường đứt nét biểu thị một bề mặt hình cầu, bên trong đó xác suất phát hiện ra một electron là 90%. Trong bộ lễ phục. 9.1, b cho thấy hình ảnh đường viền của mật độ electron trong nguyên tử hydro. Đường viền gần hạt nhân nhất bao phủ một vùng không gian trong đó xác suất phát hiện một điện tử là 10%, trong khi xác suất phát hiện một điện tử bên trong đường viền thứ hai từ hạt nhân là 20%, bên trong vùng thứ ba - 30%, v.v. Trong bộ lễ phục. 9.1, đám mây electron được mô tả như một bề mặt hình cầu, bên trong đó xác suất phát hiện ra một electron là 90%.
Cuối cùng, trong Hình. 9.1, d và b theo hai cách cho thấy xác suất phát hiện một electron là ở các khoảng cách khác nhau NS từ hạt nhân: ở trên cùng được hiển thị "cắt" của xác suất này, đi qua hạt nhân, và ở dưới cùng - hàm 4nr 2 | Y | 2.
Phương trình Schrödingsr. Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử này được xây dựng bởi nhà vật lý người Áo E. Schrödinger vào năm 1926. Nó liên quan đến tổng năng lượng của một hạt E, bằng tổng thế năng và động năng, thế năng? „, khối lượng hạt NS và hàm sóng 4 *. Ví dụ, đối với một hạt, một electron có khối lượng t e, nó trông như thế này:
Từ quan điểm toán học, đây là một phương trình có ba ẩn số: Y, E và?". Giải quyết nó, tức là bạn có thể tìm thấy những ẩn số này nếu bạn giải nó cùng với hai phương trình khác [để tìm ba ẩn số, cần ba phương trình]. Các phương trình cho thế năng và các điều kiện biên được sử dụng như các phương trình như vậy.
Phương trình của thế năng không chứa hàm sóng Y. Nó mô tả sự tương tác của các hạt mang điện theo định luật Coulomb. Khi một êlectron tương tác với hạt nhân có điện tích + z thì thế năng là
ở đâu r = Y * 2 + y 2+ z 2.
Đây là trường hợp của cái gọi là nguyên tử một electron. Trong các hệ thống phức tạp hơn, khi có nhiều hạt mang điện, phương trình thế năng bao gồm tổng của các số hạng Coulomb giống nhau.
Phương trình của các điều kiện biên là biểu thức
Có nghĩa là hàm sóng của electron có xu hướng bằng không ở những khoảng cách lớn so với hạt nhân nguyên tử.
Lời giải của phương trình Schrödinger cho phép bạn tìm hàm sóng của electron? = [x, y, z] như một hàm của tọa độ. Sự phân bố này được gọi là quỹ đạo.
Quỹ đạo - nó là một hàm sóng cho trong không gian.
Hệ phương trình, bao gồm phương trình Schrödinger, thế năng và điều kiện biên, không có một mà có nhiều nghiệm. Mỗi nghiệm đồng thời bao gồm 4 x = [x, y, NS] và E, I E. mô tả một đám mây electron và tổng năng lượng tương ứng của nó. Mỗi giải pháp được xác định Số lượng tử.
Ý nghĩa vật lý của các số lượng tử có thể được hiểu bằng cách xem xét các dao động của sợi dây, do đó sóng dừng được hình thành [Hình 9.2].
Chiều dài sóng đứng NS và độ dài chuỗi NS liên quan bởi phương trình
Độ dài của sóng dừng chỉ có thể có các giá trị được xác định chặt chẽ tương ứng với số NS, chỉ chấp nhận các giá trị số nguyên không âm 1,2,3, v.v. Như rõ ràng từ Fig. 9.2, số cực đại của biên độ dao động, tức là hình dạng sóng đứng, được xác định duy nhất bởi giá trị NS.
Vì sóng điện tử trong nguyên tử là một quá trình phức tạp hơn sóng dừng của một sợi dây, các giá trị của hàm sóng điện tử không được xác định bởi một, mà bởi
Lúa gạo. 9.2.
ba số, được gọi là số lượng tử và được biểu thị bằng các chữ cái NS, /, NS và NS. Một tập hợp các số lượng tử nhất định NS, /, NSđồng thời tương ứng với một hàm sóng xác định H "lDl, và tổng năng lượng E „j. Số lượng tử NS tại E không chỉ ra, vì trong trường hợp không có trường bên ngoài, năng lượng electron từ NS không phụ thuộc. Số lượng tử NS không ảnh hưởng đến bất kỳ 4 * n xt, không trên E n j.
- , ~ elxv dlxv 62 * p
- Ký hiệu -, --- có nghĩa là đạo hàm riêng thứ hai của hàm linh sam1 cung 8z2 H ". Đây là đạo hàm của đạo hàm cấp một. Ý nghĩa của đạo hàm cấp một trùng với tang của hệ số góc của hàm H" từ lập luận x , y hay z trên đồ thị? = j [x], T = / 2 [y], H "= /:! [z].