6. Tổng hai lập phương
Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.
\[{A^3} + {B^3} = \left[ {A + B} \right][{A^2} - AB + {B^2}]\]
7. Hiệu hai lập phương
Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.
\[{A^3} - {B^3} = \left[ {A - B} \right][{A^2} + AB + {B^2}]\]
Ta có bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
\[1.{\left[ {A + B} \right]^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\]
\[2.{\left[ {A - B} \right]^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\]
\[3.{A^2} - {B^2} = \left[ {A + B} \right]\left[ {A - B} \right]\]
\[4.{\left[ {A + B} \right]^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\]
\[5.{\left[ {A - B} \right]^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\]
\[6.{A^3} + {B^3} = \left[ {A + B} \right][{A^2} - AB + {B^2}]\]
\[7.{A^3} - {B^3} = \left[ {A - B} \right][{A^2} + AB + {B^2}]\]
Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Rút gọn biểu thức
Phương pháp:
Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right]\]
Ta có: \[\left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x + 1} \right] \]\[= \left[ {x - 1} \right]\left[ {{x^2} + x.1 + {1^2}} \right] = {x^3} - 1\]
Dạng 2: Tìm \[{\bf{x}}\]
Phương pháp:
Sử dụng các hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để biến đổi để đưa về dạng tìm \[x\] thường gặp
Ví dụ: Tìm \[x\] biết\[\left[ {x + 2} \right]\left[ {{x^2} - 2x + 4} \right] = 8\]
Ta có:
\[\begin{array}{l}
\left[ {x + 2} \right]\left[ {{x^2} - 2x + 4} \right] = 8\\
\Rightarrow {x^3} + {2^3} = 8\\
\Rightarrow {x^3} + 8 = 8\\
\Rightarrow {x^3} = 0\\
\Rightarrow x = 0
\end{array}\]
Vậy \[x=0.\]