2 mũ dương vô cùng bằng bao nhiêu

Giới hạn của dãy số là một điểm lý thuyết phổ biến thường có trong đề thi THPT Quốc Gia. Vì vậy việc nắm rõ khái niệm cũng như cách giải bài tập sẽ giúp ích hơn cho các em trong lúc thi. Hãy cùng Marathon Education tìm hiểu kỹ hơn trong bài viết sau đây! 

Lý thuyết giới hạn của dãy số

Dãy số có giới hạn 0

Định nghĩa 1:

Dãy số (un ) có giới hạn bằng 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu giá trị tuyệt đối của n có thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, mọi số hạng của dãy số và kể từ số hạng bất kỳ nào đó trở đi. 

Định nghĩa 2:

Dãy số  (vn) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞ nếu:

Tính chất: 

Dãy số có giới hạn vô cực

Dãy số có giới hạn +∞

Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số dương bất kỳ, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi đều sẽ lớn hơn số dương đó. 

Ký hiệu: lim un = + ∞. 

Dãy số có giới hạn – ∞

Dãy số có giới hạn (un ) nếu với mọi số âm bất kỳ cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạn nào đó trở đi đều sẽ nhỏ hơn số âm đó. 

Ký hiệu: lim un = – ∞.

Các quy tắc tìm giới hạn vô cực 

Dãy số có giới hạn hữu hạn

Định nghĩa:

•  khi và chỉ khicó thể nhỏ hơn một số dương nhỏ tùy ý, kể từ số hạng nào đó trở đi. 

Các định lý: 

1. Nếu lim un = a và lim vn = b, thì:

• lim (un + vn) = a + b.
• lim (un – vn) = a – b.
• lim (un.vn) = ab.

1. Nếu un ≥ 0 với mọi n và lim un = a thì a > 0 và

Các dạng bài tập về giới hạn dãy số có lời giải

Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số

Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa, kết hợp tính chất và những định lý về giới hạn của một dãy số

Dạng 3: Chứng minh lim un tồn tại

Phương pháp giải: Sử dụng định lý

• Dãy số (un ) tăng và bị chặn trên thì có giới hạn
• Dãy số (vn ) giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Dạng 4: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Dạng 5: Tìm giới hạn vô cực

Tham khảo ngay các khoá học online của Marathon Education

Như vậy, các em đã được tìm hiểu về lý thuyết giới hạn của dãy số cũng như cách giải bài tập đơn giản, chi tiết. Hy vọng với những kiến thức được team Marathon truyền tải, các em có thể dễ dàng ôn luyện và giải bài hiệu quả hơn.

Hãy liên hệ ngay với Marathon để được tư vấn nếu các em có nhu cầu học online nâng cao kiến thức nhé! Marathon Education chúc các em được điểm cao trong các bài kiểm tra và kỳ thi sắp tới!

Bài viết Cách tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm giới hạn hàm số dạng 0/0, dạng vô cùng trên vô cùng.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Tìm trong đó f(x0) = g(x0) = 0

Dạng này ta gọi là dạng vô định 0/0

Để khử dạng vô định này ta sử dụng định lí Bơzu cho đa thức:

Định lí: Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = x0 thì ta có :f(x) = (x-x0)f1(x)

* Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích

f(x) = (x-x0)f1(x)và : g(x) = (x-x0)g1(x).

Khi đó , nếu giới hạn này có dạng 0/0 thì ta tiếp tục quá trình như trên.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm các giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 2: Tìm giới hạn sau:

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 3:

Hướng dẫn:

Đặt t = x - 1 ta có:

Bài 4:

Hướng dẫn:

Ta có:

Nên ta có B = 1 + 1 + 1 = 3

Bài 5:

Hướng dẫn:

Ta có:

Vậy A = -2/3

Bài 6:

Hướng dẫn:

Ta có:

Mà

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: bằng số nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án: A

Đáp án là A

Bài 2: bằng

A. 5            B. 1            C. 5/3            D. -5/3

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án là C

Bài 3: bằng:

A. 0            B. 4/9            C. 3/5            D. +∞

Lời giải:

Đáp án: C

Chia cả tử và mẫu của phân thức cho x4 ta có

Đáp án C

Bài 4: bằng:

A. -2

B. -1

C. 1

D. 2

Lời giải:

Đáp án: B

Đáp án là B

Bài 5: bằng:

A. -∞            B. 3/5            C. -2/5            D. 0

Lời giải:

Đáp án: D

Đáp án là D

Bài 6: bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Đáp án là D

Bài 7: bằng:

A. -3

B. -1

C. 0

D. 1

Lời giải:

Đáp án: D

Đáp án là D

Bài 8: bằng:

A. -2/3            B. -1/3            C. 0            D. 1/3

Lời giải:

Đáp án: B

Đáp án là B

Bài 9: bằng:

A. +∞

B. 4

C. 0

D. -∞

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án C

Bài 10: bằng:

A. 0            B. -1            C. -1/2            D. -∞

Lời giải:

Đáp án: A

Đáp án A

Bài 11: bằng:

A. 1/4            B. 1/6            C. 1/8            D. -1/8

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án C

Bài 12: bằng:

A. +∞            B. 1/8            C. -9/8            D. -∞

Lời giải:

Đáp án: D

Tử số có giới hạn là -1, mẫu số có giới hạn là 0 và khi x < -2 thì x2 + 2x > 0. Do đó

Đáp án D

Bài 13: bằng:

A. 0            B. -1/6            C. -1/2            D. -∞

Lời giải:

Đáp án: A

Đáp án A

Bài 14: bằng:

A. +∞            B. 2/5            C. -7            D. -∞

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án C

Bài 15: bằng:

A. 2/3            B. 1/2            C. -2/3            D. -1/2

Lời giải:

Đáp án: C

Đáp án C

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Săn SALE shopee tháng 9:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GIA SƯ DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.