Bài tập Hình học lớp 9
80 Bài tập Hình học lớp 9 là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến quý thầy cô cùng các bạn học sinh tham khảo.
Bài tập Hình học 9 tổng hợp 80 bài tập có đáp án kèm theo. Qua đó giúp các bạn có thêm nhiều gợi ý ôn tập, trau dồi kiến thức rèn luyện kỹ năng giải các bài tập Hình học để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học kì 1, bài thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là nội dung chi tiết tài liệu, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.
Bài tập Hình học lớp 9 Có đáp án
Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn [O]. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn [O] lần lượt tại M,N,P.
Chứng minh rằng:
1. Tứ giác CEHD, nội tiếp .
2. Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
4. H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
Góc CEH = 900 [Vì BE là đường cao]
Góc CDH = 900 [Vì AD là đường cao]
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEC = 900.
CF là đường cao => CF ┴ AB => góc BFC = 900.
Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900 => E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.
Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.
3. Xét hai tam giác AEH và ADC ta có: góc AEH = góc ADC = 900; góc A là góc chung
=> Δ AEH ˜ Δ ADC => AE/AD = AH/AC=> AE.AC = AH.AD.
* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có: góc BEC = góc ADC = 900; góc C là góc chung
=> Δ BEC ˜ Δ ADC => AE/AD = BC/AC => AD.BC = BE.AC.
4. Ta có góc C1 = góc A1 [vì cùng phụ với góc ABC]
góc C2 = góc A1 [ vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM]
=> góc C1 = góc C2 => CB là tia phân giác của góc HCM; lại có CB ┴ HM => Δ CHM cân tại C
=> CB cũng là đương trung trực của HM vậy H và M đối xứng nhau qua BC.
5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn
=> góc C1 = góc E1 [vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF]
Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp
góc C1 = góc E2 [vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD]
góc E1 = góc E2 => EB là tia phân giác của góc FED.
Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Bài 2. Cho tam giác cân ABC [AB = AC], các đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
- Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp .
- Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
- Chứng minh ED = 1/2BC.
- Chứng minh DE là tiếp tuyến của đường tròn [O].
- Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm.
Lời giải:
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
góc CEH = 900 [Vì BE là đường cao]
góc CDH = 900 [Vì AD là đường cao]
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 900.
AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 900.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.
4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E1 = góc A1 [1].
Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E3 = góc B1 [2]
Mà góc B1 = góc A1 [vì cùng phụ với góc ACB] => góc E1 = góc E3 => góc E1 + góc E2 = góc E2 + góc E3
Mà góc E1 + góc E2 = góc BEA = 900 => góc E2 + góc E3 = 900 = góc OED => DE ┴ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn [O] tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ↔ ED2 = 52 – 32 ↔ ED = 4cm
Bài 3: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lượt ở C và D. Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại N.
1. Chứng minh AC + BD = CD.
2. Chứng minh
3.Chứng minh
4.Chứng minh
5. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
6.Chứng minh
Bài 4 Cho tam giác cân ABC [AB = AC], I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A , O là trung điểm của IK.
1. Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn [O].
3. Tính bán kính đường tròn [O] Biết AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm.
Bài 5: Cho đường tròn [O; R], từ một điểm A trên [O] kẻ tiếp tuyến d với [O]. Trên đường thẳng d lấy điểm M bất kì [ M khác A] kẻ cát tuyến MNP và gọi K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB [B là tiếp điểm]. Kẻ AC
1. Chứng minh tứ giác AMBO nội tiếp.
2. Chứng minh năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một đường tròn .
3. Chứng minh OI.OM = R2; OI. IM = IA2.
4. Chứng minh OAHB là hình thoi.
5. Chứng minh ba điểm O, H, M thẳng hàng.
6. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên đường thẳng d
Bài 6; Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Gọi HD là đường kính của đường tròn [A; AH]. Tiếp tuyến của đường tròn tại D cắt CA ở E.
1. Chứng minh tam giác BEC cân.
2. Gọi I là hình chiếu của A trên BE, Chứng minh rằng AI = AH.
3. Chứng minh rằng BE là tiếp tuyến của đường tròn [A; AH].
4. Chứng minh BE = BH + DE.
Bài 7 Cho đường tròn [O; R] đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trên tiếp tuyến đó một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xúc với [O] tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giác APMO nội tiếp được một đường tròn.
2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuông góc với AB ở O cắt tia BM tại N. Chứng minh tứ giác OBNP là hình bình hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kéo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài 8 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và điểm M bất kì trên nửa đường tròn [M khác A,B]. Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1] Chứng minh rằng: EFMK là tứ giác nội tiếp.
2] Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB.
3] Chứng minh BAF là tam giác cân.
4] Chứng minh rằng : Tứ giác AKFH là hình thoi.
5] Xác định vị trí M để tứ giác AKFI nội tiếp được một đường tròn.
Bài 9 Cho nửa đường tròn [O; R] đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F [F ở giữa B và E].
1. Chứng minh AC. AE không đổi.
2. Chứng minh góc ABD = góc DFB.
3. Chứng minh rằng CEFD là tứ giác nội tiếp.
........
Mời các bạn tải về để xem trọn bộ tài liệu Bài tập Hình học 9
Page 2
80 Bài tập Hình học lớp 9 có kèm lời giải và hướng dẫn, giúp các em có thêm tài liệu tham khảo ôn tập và làm bài tập. Chuẩn bị kiến thức thi vào các trường trường Trung học phổ thông, trường chuyên, năng khiếu. Xem thêm các thông tin về 80 Bài tập Hình học lớp 9 [Có đáp án] tại đây
Các dạng bài toán về tiếp tuyến của đường tròn và cách giải - Toán lớp 9
I. Lý thuyết
1. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
Dấu hiệu 1: Theo định nghĩa tiếp tuyến:
Đường thẳng chỉ có duy nhất một điểm chung với đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn đó.
Đường thẳng d có duy nhất một điểm chung với đường tròn [O] là A nên d là tiếp tuyến của đường tròn và A là tiếp điểm.
Dấu hiệu 2: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.
Trên hình ta có, đường thẳng ∆ đi qua điểm H của đường tròn [O] và vuông góc với bán kính OH nên đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của đường tròn [O].
2. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Nếu hai tuyến tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua hai tiếp điểm.
Cho đường tròn [O;R] có AB; AC là hai tiếp tuyến của đường tròn
Khi đó ta có:
AB = AC.
AO là tia phân giác BAC^.
OA là tia phân giác BOC^.
3. Đường tròn nội tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn.
- Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao của ba đường phân giác các góc trong tam giác.
Cho tam giác ABC có D là giao của ba đường phân giác nên D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác.
Khi đó D cách đều ba cạnh tam giác.
4. Đường tròn bàng tiếp tam giác
- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh tam giác còn lại thì gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.
- Với mỗi tam giác, ta xác định được ba đường tròn bàng tiếp.
- Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác được xác định bởi giao của hai đường phân giác góc ngoài của hai đỉnh tạo thành cạnh mà đường tròn tiếp xúc.
Cho tam giác ABC có I là giao của hai đường phân giác ngoài góc B và góc C nên I là tâm đường tròn bàng tiếp tam giác.
II. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn
Phương pháp giải: Để chứng minh một đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn [O;R] tại điểm C ta làm như sau:
Cách 1: Chứng minh điểm C thuộc [O] và a vuông góc với OC tại C.
Cách 2: Kẻ OH vuông góc với a tại H. Chứng minh OH = OC = R.
Cách 3: Vẽ tiếp tuyến a’ của [O;R] tại C. Chứng minh a trùng a’.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân tại A có các đường cao AH và BK cắt nhau tại I. Chứng minh:
a] Đường tròn đường kính AI đi qua K;
b] HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Lời giải:
a] Vì BK là đường cao nên BK ⊥AC
mà I ∈BK nên AKI^=90°
Tam giác AKI là tam giác vuông tại K
⇒A, K, I nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác AKI với đường kính là AI [định lí]
⇒Đường tròn đường kính AI đi qua K
b] Gọi O là trung điểm của AI
Ta có:
+ OK = OA = AI2
=> Tam giác AKO cân tại O
⇒ OKA^=OAK^ [tính chất] [1]
Do tam giác AHC vuông tại H nên OAK^+ACB^=90°
Do tam giác BCK vuông tại K nên HBK^+ACB^=90°
Ta có:
OAK^+ACB^=90°HBK^+ACB^=90°
⇒ OAK^=HBK^ [do cùng phụ với góc ACB^] [2]
Vì tam giác ABC là tam giác cân tại A nên AH vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến.
⇒H là trung điểm của BC ⇒KH là đường trung tuyến của tam giác BKC
Tam giác BKC vuông tại K ⇒KH = HB [định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền]
⇒Tam giác BHK là tam giác cân tại H
⇒ HBK^=HKB^[3]
Từ [1] [2] [3] ⇒OKA^=HKB^
Mà OKA^+OKB^=90°
Do đó: HKB^+OKB^=90°
⇒HKO^=90°⇒HK⊥KO tại K
⇒HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI.
Ví dụ 2: Cho đường tròn [O] đường kính AB. Ax và By là hai tia tiếp tuyến của [O] [Ax, By cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB]. Trên tia Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho COD^=90°. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Lời giải:
Vẽ OH vuông góc với CD, H thuộc CD.
Tia CO cắt tia đối của tia By tại E.
Vì Ax và By là tiếp tuyến ⇒CAO^=EBO^=90°
Xét tam giác ACO và tam giác BEO có:
OA=OB=R
AOC^=BOE^ [hai góc đối đỉnh]
CAO^=EBO^=90°
Do đó: ΔACO=ΔBEO[g – c – g]
⇒OC=OE nên O là trung điểm của EC
Tam giác CDE có OD vừa là đường cao [do COD^=90°] vừa là đường trung tuyến nên tam giác DEC cân tại D
⇒OD là tia phân giác góc D
Xét tam giác OHD và tam giác OBD có:
HDO^=BDO^ [do DO là tia phân giác]
OHD^=OBD^=90°
OD chung
Do đó: ΔOHD=ΔOBD [cạnh huyền – góc nhọn]
⇒OH = OB = R
Ta có:
OH ⊥CD và OH = OB = R
Nên CD là tiếp tuyến của đường tròn [O].
Dạng 2: Tính độ dài
Phương pháp giải: Nối tâm với tiếp điểm rồi vận dụng tính chất của tiếp tuyến và sử dụng các công thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Ví dụ 1: Cho [O;R] đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho CAB^=30°. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:
a] MC là tiếp tuyến của đường tròn [O].
b] MC = R 3.
Lời giải:
a] Ta có: Tam giác ABC có 3 đỉnh A, B, C thuộc đường tròn [O] và AB là đường kính
⇒ΔABCvuông tại C
Xét ΔABCvuông tại C ta có:
CAB^+ABC^+BCA^=180°[định lý tổng ba góc trong một tam giác]
⇔30°+ABC^+90°=180°
⇔ABC^=180°−90°−30°
⇒ABC^=60°
Xét tam giác OBC có:
OB = OC = R
OBC^=60°
Do đó: Tam giác OBC là tam giác đều
⇒OB = CB [1]
Lại có: M nằm trên tia đối tia BA và BM = R
⇒B là trung điểm của OM
OB = BM [2]
Từ [1] và [2]
⇒OB = CB = BM
Xét tam giác OCM có:
CB là đường trung tuyến
OB = BM = CB
⇒Tam giác OCM vuông tại C
⇒CO ⊥CM
Ta có :
CO ⊥CM
CO = R
Do đó: CM tiếp tuyến của đường tròn [O].
b] Ta có : OM = OB + BM = R + R = 2R
Xét tam giác OCM vuông tại C ta có:
OM2=OC2+MC2[định lý Py – ta – go]
⇔2R2=R2+MC2
⇔4R2=R2+MC2
⇔MC2=4R2−R2
⇔MC=3R2
⇒MC=3R[điều phải chứng minh].
Ví dụ 2: Cho đường tròn tâm O bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.
a] Tứ giác OCAB là hình gì?
b] Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B cắt đường thẳng OA tại D. Tính BD theo R.
Lời giải:
a] Vì OA ⊥BC nên OA đi qua trung điểm của BC [định lí]
⇒M là trung điểm của BC
Xét tứ giác OCAB có:
M là trung điểm của OA [giả thuyết]
M là trung điểm của BC
Do đó tứ giác OCAB là hình bình hành [dấu hiệu nhận biết]
Lại có OC = OB = R
Nên tứ giác OCAB là hình thoi.
b] Vì OCAB là hình thoi nên OC = CA = AB = OB = R
Xét tam giác OAB có: OA = OB = AB = R
⇒Tam giác OAB là tam giác đều
⇒BOA^=60°
Lại có BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm [O]
Nên BD ⊥OB
⇒Tam giác OBD vuông tại B
Xét tam giác OBD có:
tanBOD^=BDOB
⇔tan60°=BDR
⇒BD=3R.
Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng bằng nhau, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp giải: Dùng tính chất tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt nhau.
Ví dụ 1: Cho đường tròn [O], hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A
a] Chứng minh: AO là trung trực của đoạn thẳng BC.
b] Vẽ đường kính CD của [O]. Chứng minh BD và OA song song.
Lời giải:
a] Vì AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau
⇒AB=ACBOA^=COA^BAO^=CAO^
Gọi giao điểm của BC và AO là F
Xét tam giác OFB và tam giác OFC có:
OF chung
OB = OC = R
BOA^=COA^[chứng minh trên]
Do đó ΔOFB=ΔOFC [c – g – c]
⇒BF=FCOFB^=OFC^[các cặp cạnh và góc tương ứng]
Ta có:
OFB^+OFC^=180°
Mà OFB^=OFC^
⇒OFB^=OFC^=90°
Vì BF = CF và OFB^=OFC^=90° nên OA là đường trung trực của BC.
b] Vì O là trung điểm của CD và F là trung điểm của BC nên OF là đường trung bình của tam giác CBD
⇒OF // BD
Mà A, O, F thẳng hàng
Do đó OA // BD [điều phải chứng minh].
Ví dụ 2: Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn [O] cắt nhau tại M. Đường thẳng vuông góc với OA tại O cắt MB tại C. Chứng minh CM = CO.
Lời giải:
Vì MA là tiếp tuyến của đường tròn [O] tại A ⇒MA ⊥OA
Ta có:
MA⊥OA[cmt]OC⊥OA[gt] ⇒MA // OC
⇒COM^=AMO^ [hai góc so le trong] [1]
Do MA và MB là hai tiếp tuyến cắt nhau ⇒OM là tia phân giác AMB^
⇒AMO^=BMO^[tính chất] [2]
Từ [1] và [2] ⇒COM^=AMO^=BMO^
Xét tam giác OCM có: COM^=CMO^
⇒ΔOCMlà tam giác cân tại C
⇒OC = CM.
Dạng 4: Chứng minh tiếp tuyến, tính độ dài, số đo góc dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
Phương pháp giải: Chúng ta sử dụng các nội dung kiến thức sau
- Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
- Khái niệm đường tròn nội tiếp, đường tròn bàng tiếp tam giác
- Các hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ví dụ 1: Cho đường tròn [O;R] và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC [B, C là các tiếp điểm]. Chứng minh BAC^=60° khi và chỉ khi OA = 2R.
Lời giải:
Để góc BAC^=60° thì OAB^=30° [Vì theo tính chất hai tiếp cắt nhau thì tia nối điểm đó với tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến].
Ta có: AB là tiếp tuyến của đường tròn [O] tại B nên AB ⊥ OB tại B.
Xét tam giác OAB vuông tại B ta có:
sinOAB^=OBOA=sin30°
⇔ROA=12
⇒OA=2R [điều phải chứng minh]
Chiều ngược lại: Nếu OA = 2R, ta chứng minh BAC^=60°
Do AB là tiếp tuyến, B là tiếp điểm nên tam giác OAB vuông tại B
Ta có: sinOAB^=OBAB=R2R=12 [tỉ số lượng giác trong tam giác vuông]
⇒OAB^=30°
Mà AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau nen OA là tia phân giác của góc BAC^
⇒BAC^=2.OAB^=2.30°=60° [điều phải chứng minh].
Ví dụ 2: Cho đường tròn [O]. Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến ME và MF [E, F là hai tiếp điểm] sao cho EMO^=30°. Biết chu vi tam giác MEF là 30cm
a] Tính độ dài EF.
b] Diện tích tam giác MEF.
Lời giải:
a] Ta đi chứng minh OM vuông góc với EF
Vì MF và ME là hai tiếp tuyến cắt nhau nên OM là tia phân giác EOF^
Gọi giao điểm của EF và MO là I
Xét tam giác OFI và tam giác OEI có:
OI chung
OE = OF = R
EOI^=FOI^ [do OM là tia phân giác của EOF^ ]
Do đó ΔOFI=ΔOEI [c – g – c]
⇒OIF^=OIE^ [hai góc tương ứng]
Ta có:
OIF^+OIE^=180°
Mà OIF^=OIE^
⇒OIF^=OIE^=90°
Lại có: IF = IE [hai cạnh tưng ứng] nên I là trung điểm của EF
Chu vi tam giác MEF là : c = ME + MF + EF
Mà ME = MF, EF = 2EI nên ta có
Chu vi tam giác MEF là: c = 2ME + 2EI [*]
Ta lại có tam giác IME vuông và EMI^=30°
sinEMI^=IEEM
⇔sin30°=IEEM=12
⇒2IE=EM thay vào [*] ta có:
c = 2ME + 2IE = 2ME + ME = 3ME = 30cm
⇒ME =10cm
⇒IE = 5cm
⇒EF = 2IE = 10cm.
b] Xét tam giác MIE vuông tại I ta có:
MI2+IE2=ME2 [ định lý Py – ta – go]
⇔MI2+52=102
⇔MI2=100−25
⇔MI2=75
⇔MI=53 cm
Diện tích tam giác MEF là
S = 12MI.EF=12.53.10=253[ cm2].
Dạng 5: Chứng minh các đẳng thức hình học
Phương pháp giải: Sử dụng các tính chất về tiếp tuyến, hai tiếp tuyến cắt nhau.
Ví dụ 1: Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. Điểm M nằm trên [O] sao cho tiếp tuyến tại M cắt Ax, By tại C và D. Chứng minh:
a] AC + BD = CD.
b] COD^=90°.
c] AC.BD = OA2.
Lời giải:
a] Gọi d là tiếp tuyến của [O] qua M
Vì Ax và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C ⇒AC = CM [tính chất] [1]
Vì By và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D ⇒BD = DM [tính chất] [2]
Cộng vế với vế của [1] và [2] ta được:
AC + BD = CM + DM
⇒AC + BD = CD [điều phải chứng minh].
b] Vì Ax và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C ⇒AOC^=MOC^
Vì By và d là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D ⇒MOD^=BOD^
Ta có:
AOC^+MOC^+MOD^+BOD^=180°
Mà AOC^=MOC^ và MOD^=BOD^
⇒ 2MOC^+2MOD^=180°
⇔2MOC^+MOD^=180°
⇔MOC^+MOD^=90°
⇒COD^=90°.
c] Vì d là tiếp tuyến của [O] tại M nên CD là tiếp tuyến của [O] tại M
Do đó: CD⊥OM tại M
Xét tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao ta có:
OM2=CM.DM [hệ thức lượng trong tam giác vuông]
Ta có:
OM = OA [bán kính]
CM = CA [cmt]
BM = BD [cmt]
Do đó OM2=CM.DM⇔OA2=CA.BD⇒CA.BD=R2 [do OA = R].
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn [A; AH]. Từ B, C kẻ tiếp tuyến BD, CE với [A] trong đó D, E là các tiếp điểm.
a] Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.
b] Chứng minh BD.CE=DE24.
Lời giải:
a] Vì CE và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên EAC^=HAC^ [tính chất]
Vì BD và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau nên DAB^=HAB^
Ta có: HAB^+HAC^=90°
⇒2.HAB^+HAC^=180°
⇔2.HAB^+2.HAC^=180°
Mà EAC^=HAC^ và DAB^=HAB^
⇒EAC^+HAC^+DAB^+HAB^=180°
⇒DAE^=180°
⇒ba điểm D, A, E thẳng hàng.
b] Vì AH là đường cao của tam giác vuông ABC nên AH ⊥BC và AH = R nên Bc là tiếp tuyến của đường tròn [A; AH].
Vì BD và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại B nên BD = BH
Vì CE và BC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên CE = CH
Ta có:
BD. CE = BH. HC [do BD = BH và CE = HC]
Lại có: BH. HC = AH2= DE22[do DE là đường kính]
⇒BD.CE=DE24 [điều phải chứng minh].
III. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho nửa đường tròn [O] đường kính AB = 2R. Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tiếp tuyến Ax và By. M là điểm trên [O] sao cho tiếp tuyến Ax và By cắt tiếp tuyến tại M của đường tròn tại hai điểm B và C. Đường thẳng AD cắt BC tại N.
a] Chứng minh A, C, N, O cùng thuộc một đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn đó.
b] Chứng minh OC song song với BM.
c] Tìm vị trí điểm M sao cho diện tích tứ giác ACDB nhỏ nhất.
d] Chứng minh MN và AB vuông góc với nhau.
Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và M là một điểm nằm trên [O]. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của [O] lần lượt tại C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E. Đường thẳng BM cắt OD tại F.
a] Chứng minh COD^=90°.
b] Tứ giác MEOF là hình gì?
c]Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
Bài 3: Cho đường tròn [O;6cm] và điểm A nằm trên đường tròn [O]. Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn và lấy điểm B trên tia Ax sao cho AB = 8cm.
a] Tính độ dài OB.
b] Qua A kẻ đường vuông góc với OB, cắt [O] tại C. Chứng minh BC là tiếp tuyến của [O].
Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By ở C và D.
a] Chứng minh tam giác COD và tam giác AMB đồng dạng.
b] Chứng minh MC.MD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
c] Cho OC = BA = 2R. Tính AC và BD theo R.
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = 8cm, BC = 16cm. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E.
a] Chứng minh HE là tiếp tuyến của đường tròn.
b] Tính HE.
Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 9cm, AC = 12cm. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác. Tính IG.
Bài 7: Cho đường tròn [O] và điểm A nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB. AC với [O] trong đó B, C là các tiếp điểm.
a] Chứng minh đường thẳng OA là trung trực của BC.
b] Gọi H là giao điểm của AO và BC. Biết B = 2cm và OH = 1cm.Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
Bài 8: Cho đường tròn [O] đường kính AB. Lấy M thuộc [O] sao cho MA < MB. Vẽ dây MN vuông góc với AB tại H. Đường thẳng AN cắt BM tại C. Đường thẳng qua C vuông góc với AB tại K và cắt BN tại D.
a] Chứng minh A, M, C, K cùng thuộc một đường tròn.
b] Chứng minh BK là tia phân giác góc MBN^.
c] Chứng minh tam giác KMC cân và KM là tiếp tuyến của đường tròn [O].
d] Tìm vị trí điểm M trên [O] để tứ giác MNKC là hình thoi.
Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm I là tâm đường tròn nội tiếp, điểm K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A của tam giác.
a] Chứng minh bốn điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn.
b] Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn [O] nói trên.
c] Tính bán kính [O] biết AB = AC = 20cm; BC = 24cm.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi d và d’ là các tiếp tuyến tại A và B. Lấy C bất kỳ thuộc d, đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt d’ tại D. AD cắt BC tại N.
a] Chứng minh CD là tiếp tuyến của [O] tại điểm M.
b] Tìm vị trí điểm C trên d sao cho [AC + BD] đạt giá trị nhỏ nhất.
c] Biết AB = 4a, tính giá trị của AC.BC và 1OC2+1OD2theo a.
Bài 11: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn [I]. Các cạnh AB, BC, AC tiếp xúc với đường tròn [I] lần lượt tại D, E, F. Đặt BC = a, AC = b, AB = c
a] Chứng minh: AD=b+c−a2.
b] Gọi r là bán kính của [I]. Chứng minh diện tích tam giác ABC là tích của nửa chu vi tam giác với r.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Vị trí tương đối của hai đường tròn và cách giải bài tập
Góc ở tâm, số đo cung, liên hệ giữa cung và dây và cách giải
Bài tập về góc nội tiếp và cách giải
Bài tập về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
Bài tập về góc có đỉnh nằm trong đường tròn, góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn và cách giải