Trong toán học, logarit [tiếng Anh: logarithm] của một số là lũy thừa mà một giá trị cố định, gọi là cơ số, phải được nâng lên để tạo ra số đó. Ví dụ, logarit cơ số 10 của 1000 là 3 vì 1000 là 10 lũy thừa 3: 1000 = 10 × 10 × 10 = 103. Tổng quát hơn, nếu x = by thì y được gọi là logarit cơ số b của x và được ký hiệu là logb x.
Logarit do John Napier giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1614 như là một cách để đơn giản hóa việc tính toán. Về sau, nó đã nhanh chóng được nhiều nhà khoa học sử dụng để hỗ trợ trong tính toán, đặc biệt là các phép tính yêu cầu độ chính xác cao, thông qua thước loga và bảng logarit. Các công cụ này dựa trên tính chất rằng logarit của một tích bằng tổng các logarit của các thừa số:
log b [ x y ] = log b x + log b y . {\displaystyle \log _{b}[xy]=\log _{b}x+\log _{b}y.\,}Khái niệm logarit như ngày nay đến từ Leonhard Euler, người đã liên hệ nó với hàm mũ vào thế kỷ 18.
Logarit cơ số 10 [b = 10] được gọi là logarit thập phân và có nhiều ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật. Logarit tự nhiên có cơ số là hằng số e [b ≈ 2,718] và được ứng dụng phổ biến nhất trong toán học và vật lý, đặc biệt là vi tích phân. Logarit nhị phân sử dụng cơ số 2 [b = 2] và được sử dụng nhiều nhất trong khoa học máy tính.
Thang đo logarit cho phép thu hẹp các đại lượng kích thước lớn về phạm vi nhỏ hơn. Chẳng hạn, decibel [dB] là đơn vị logarit định lượng áp suất âm thanh và tỉ lệ hiệu điện thế. Trong hóa học, pH là một đơn vị logarit dùng để đo độ axit hay base của dung dịch nước. Logarit cũng phổ biến trong công thức khoa học, trong việc nghiên cứu độ phức tạp tính toán hay các phân dạng. Nó hỗ trợ mô tả tỉ lệ tần số của các quãng trong âm nhạc, xuất hiện trong công thức đếm số nguyên tố, tính gần đúng một giai thừa, nghiên cứu một số mô hình trong tâm vật lý học và được ứng dụng trong lĩnh vực kế toán điều tra.
Giống như cách logarit đảo ngược phép lũy thừa, logarit phức là hàm ngược của hàm lũy thừa trong số phức. Một dạng khác của logarit là logarit rời rạc và có ứng dụng trong mật mã hóa khóa công khai.
Phép cộng, phép nhân và lũy thừa là ba trong các phép toán số học cơ bản nhất. Phép toán ngược lại với phép cộng là phép trừ, ngược lại với phép nhân là phép chia. Một cách tương tự, logarit là phép toán ngược lại với lũy thừa. Lũy thừa tức là khi một số b, gọi là cơ số, được nâng lên lũy thừa y, gọi là số mũ, để cho giá trị x, ký hiệu là
b y = x . {\displaystyle b^{y}=x.}Ví dụ, 2 nâng lên lũy thừa 3 bằng 8, vì 8 là tích của ba thừa số 2 nhân với nhau: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Phép lũy thừa có thể được mở rộng cho mọi số thực y.[1]
Logarit cơ số b chính là phép toán ngược, cho giá trị là y từ một số x ban đầu. Có nghĩa là, y = logb x tương đương với x = by với b là số thực dương. [Nếu b không phải là số thực dương, phép lũy thừa và logarit vẫn xác định nhưng có thể cho các giá trị khác nhau, dẫn đến việc định nghĩa phức tạp hơn.]
Một trong những cơ sở lịch sử cho sự ra đời của logarit là công thức
log b [ x y ] = log b x + log b y , {\displaystyle \log _{b}[xy]=\log _{b}x+\log _{b}y,\,}cho phép đưa các phép tính nhân và chia thành phép cộng, phép trừ và việc tra cứu bảng số logarit [trước khi máy tính được phát minh].
Định nghĩa
Logarit cơ số b của một số thực dương x là số mũ mà b cần phải được nâng lên để có được x. Nói cách khác, logarit cơ số b của x là nghiệm y của phương trình
b y = x {\displaystyle b^{y}=x}và được ký hiệu là logb x.[2] Để giá trị của logarit được xác định thì cơ số b phải là một số thực dương khác 1 và x là một số dương.[nb 1]
Ví dụ
Ta có log2 16 = 4 vì 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Logarit có thể là số âm:
log 2 1 2 = − 1 {\displaystyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1} vì 2 − 1 = 1 2 1 = 1 2 . {\displaystyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}Một ví dụ khác: log10150 gần bằng 2,176, một số nằm giữa 2 và 3, giống như khi 150 nằm giữa 102 = 100 và 103 = 1000. Cuối cùng, với mọi cơ số b thì logb b = 1 và logb 1 = 0 vì b1 = b và b0 = 1.
Bài chi tiết: Danh sách đồng nhất thức logarit
Các công thức quan trọng sau đây, gọi là đồng nhất thức logarit, liên hệ các logarit với nhau.[3]
Tích, thương, lũy thừa và căn
Logarit của một tích là tổng các logarit của các thừa số; logarit của một thương gồm hai số là hiệu logarit của hai số đó. Logarit của một số lũy thừa p bằng p lần logarit của số đó; logarit của một số căn bậc p là logarit của số đó chia cho p. Bảng dưới đây liệt kê các phép tính logarit cơ bản nêu trên và các ví dụ.
| Tích | log b [ x y ] = log b x + log b y {\displaystyle \log _{b}[xy]=\log _{b}x+\log _{b}y} | log 3 243 = log 3 [ 9 ⋅ 27 ] = log 3 9 + log 3 27 = 2 + 3 = 5 {\displaystyle \log _{3}243=\log _{3}[9\cdot 27]=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5} |
| Thương | log b x y = log b x − log b y {\displaystyle \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y} | log 2 16 = log 2 64 4 = log 2 64 − log 2 4 = 6 − 2 = 4 {\displaystyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4} |
| Lũy thừa | log b [ x p ] = p log b x {\displaystyle \log _{b}\left[x^{p}\right]=p\log _{b}x} | log 2 64 = log 2 [ 2 6 ] = 6 log 2 2 = 6 {\displaystyle \log _{2}64=\log _{2}\left[2^{6}\right]=6\log _{2}2=6} |
| Căn | log b x p = log b x p {\displaystyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}} | log 10 1000 = 1 2 log 10 1000 = 3 2 = 1 , 5 {\displaystyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1,5} |
Đổi cơ số
Logarit logbx có thể được tính từ logarit cơ số trung gian k của x và b theo công thức:
log b x = log k x log k b . {\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.} [dạng phép nhân: log k b ⋅ log b x = log k x {\displaystyle \log _{k}b\cdot \log _{b}x=\log _{k}x} ]Các máy tính bỏ túi điển hình thường tính logarit cơ số 10 và e.[4] Logarit cơ số b bất kỳ có thể được xác định bằng cách đưa một trong hai logarit đặc biệt này vào công thức trên:
log b x = log 10 x log 10 b = log e x log e b . {\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.\,}Cho một số x và logarit cơ số b của nó logbx với b chưa biết, thì b được tính bằng
b = x 1 log b x , {\displaystyle b=x^{\frac {1}{\log _{b}x}},}bằng cách mũ hóa biểu thức x = b log b x {\displaystyle x=b^{\log _{b}x}} lên số mũ 1 log b x . {\displaystyle \;{\tfrac {1}{\log _{b}x}}.}
Đồ thị của ba hàm số logarit phổ biến nhất với cơ số 2, e và 10
Trong các giá trị của cơ số b, có ba cơ số đặc biệt. Chúng gồm b = 10, b = e [hằng số vô tỉ xấp xỉ bằng 2,71828] và b = 2. Trong giải tích toán học, logarit cơ số e là phổ biến nhất nhờ các tính chất được giải thích dưới đây. Mặt khác, có thể dễ dàng tính logarit cơ số 10 trong hệ thập phân:[5]
Do đó, log10x có liên hệ với số chữ số của một số nguyên dương x: đó là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn log10x.[6] Chẳng hạn, log101430 gần bằng 3,15. Số nguyên liền sau là 4 và là số chữ số trong số 1430. Logarit cơ số e và logarit cơ số 2 thường được dùng trong lý thuyết thông tin, có liên quan đến hai đơn vị cơ bản nhất trong thông tin là nat và bit.[7] Logarit cơ số 2 cũng được sử dụng trong khoa học máy tính [hệ nhị phân]; trong lý thuyết âm nhạc [quãng tám, đơn vị cent] và trong nhiếp ảnh để đo giá trị phơi sáng.[8]
Bảng dưới đây liệt kê các ký hiệu logarit thông dụng và lĩnh vực mà chúng được sử dụng. Một số tài liệu viết logx thay vì logbx khi cơ số của logarit là cố định tùy theo trường hợp. Ký hiệu blogx cũng tồn tại.[9] Cột "Ký hiệu ISO" liệt kê các ký hiệu do Tổ chức tiêu chuẩn hóa quốc tế khuyến nghị [ISO 80000-2].[10]
| logarit nhị phân | lb x[11] | ld x,[12] log x,[13] lg x,[14] log2x | khoa học máy tính, lý thuyết thông tin, lý thuyết âm nhạc, nhiếp ảnh |
| logarit tự nhiên | ln x[nb 2] | log x [trong toán học[18] và nhiều ngôn ngữ lập trình[nb 3]] |
toán học, vật lý, hóa học, thống kê, kinh tế học, lý thuyết thông tin và kỹ thuật |
| logarit thập phân | lg x | log x,[19] log10x [trong kỹ thuật, sinh học, thiên văn học] |
nhiều lĩnh vực trong kỹ thuật [xem decibel và mục Ứng dụng], bảng logarit, máy tính bỏ túi, phổ học |
Bài chi tiết: Lịch sử logarit
Từ thế kỷ 3 TCN, trong cuốn Người đếm cát, Archimedes đã quan sát và đưa ra khái niệm rằng "bậc" của một số tương đương với số mũ của lũy thừa cơ số 108 = 100.000.000. Ông cũng nhắc đến quy tắc nhân hai số với nhau bằng cách cộng "bậc" của chúng lại với nhau. Nguyên lý này về sau là một cơ sở dẫn đến sự ra đời khái niệm logarit.[20] Khoảng 1000 năm sau đó, Virasena, một nhà toán học Kỳ Na người Ấn Độ, tìm ra khái niệm ardhacheda: số lần một số có thể chia hết cho 2. Với lũy thừa của 2, đó chính là giá trị nguyên của logarit cơ số 2, còn đối với các số khác thì giá trị đó không bằng logarit của chúng. Thời điểm đó, ông cũng đã phát hiện và giới thiệu thêm hai khái niệm tương tự là trakacheda [cơ số 3] và caturthacheda [cơ số 4].[21][22] Năm 1544, Michael Stifel cho xuất bản cuốn Arithmetica Integra có chứa một bảng số nguyên và lũy thừa của 2 tương ứng,[23] mà khi đảo ngược các hàng lại thì có thể được xem là dạng ban đầu của bảng logarit.[24] Đến thế kỷ 16–17, kỹ thuật prosthaphaeresis [tạm dịch: thuật nhân và chia số bằng các công thức lượng giác] xuất hiện và được dùng để chuyển phép nhân thành phép cộng thông qua các đẳng thức lượng giác.[25][26]
Từ Napier đến Euler
John Napier, người phát minh ra logarit
Khái niệm logarit do John Napier công bố lần đầu tiên vào năm 1614 trong một cuốn sách có tựa đề là Mirifici logarithmorum canonis descriptio.[27][28] Nó có liên quan đến các điểm chuyển động thẳng: Napier đã tưởng tượng một điểm thứ nhất P chuyển động đến điểm cuối của một đoạn thẳng với vận tốc giảm dần, và điểm thứ hai L chuyển động đều trên một nửa đường thẳng với độ dài vô hạn, sau đó liên hệ khoảng cách giữa P với điểm cuối của đoạn thẳng và giữa L với điểm đầu của nửa đường thẳng để nêu ra định nghĩa logarit.[29] Phát hiện này được đánh giá cao và nhanh chóng lan rộng sang nhiều quốc gia khác, bao gồm Trung Quốc và một số nước ở châu Âu trong những năm sau đó.[30] Jost Bürgi cũng tìm ra logarit một cách độc lập nhưng xuất bản công trình của mình sáu năm sau Napier.[31] Từ logarithmorum của Napier trong tiếng Latinh có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp, chỉ một số biểu thị tỉ số: λόγος [logos] có nghĩa là "tỉ số" và ἀριθμός [arithmos] có nghĩa là "số".
Năm 1647, Grégoire de Saint-Vincent, một tu sĩ Dòng Tên người Bỉ sống tại Prague, xuất bản một công trình liên hệ logarit với cầu phương của một hyperbol. Ông chỉ ra rằng diện tích f[t] giới hạn bởi hyperbol từ x = 1 đến x = t thỏa mãn
f [ t u ] = f [ t ] + f [ u ] . {\displaystyle f[tu]=f[t]+f[u].}Alphonse Antonio de Sarasa, một học trò và cộng sự của ông, về sau đã liên hệ tính chất này với logarit để dẫn đến khái niệm logarit hyperbol, tương đương với logarit tự nhiên.[32] Logarit tự nhiên lần đầu tiên được mô tả trong cuốn Logarithmotechnia của Nicholas Mercator năm 1668.[33] Khoảng năm 1730, Leonhard Euler định nghĩa hàm mũ và hàm logarit tự nhiên bằng
e x = lim n → ∞ [ 1 + x n ] n , ln [ x ] = lim n → ∞ n [ x 1 / n − 1 ] . {\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\lim _{n\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {x}{n}}\right]^{n},\\[6pt]\ln[x]&=\lim _{n\rightarrow \infty }n[x^{1/n}-1].\end{aligned}}}Euler cũng chứng minh được rằng hai hàm số này là hai hàm ngược nhau.[34] Cũng trong khoảng thời gian này, ông lần đầu tiên ký hiệu cơ số của logarit tự nhiên bằng chữ e.[35]
Trong chương 6, tập I của bộ Introductio in analysin infinitorum [1748], Euler đưa ra một hướng tiếp cận giống với khái niệm logarit hiện nay. Ông nhận thấy hàm mũ y = az với a là một số thực dương không đổi không phải là một hàm số đại số, mà là một hàm số siêu việt; đồng thời, nó cũng là hàm số tăng khi a > 1. Khi đó, mỗi số a đều tương ứng với một hàm ngược được gọi là logarit cơ số a: z = logay.[36]
Bảng logarit, thước loga và ứng dụng lịch sử
Khái niệm logarit trong Encyclopædia Britannica [năm 1797]
Bằng cách đơn giản hóa các phép tính phức tạp trước khi máy tính ra đời, logarit đóng góp đáng kể cho sự phát triển của khoa học, đặc biệt là thiên văn học. Nó cũng đóng góp cho sự tiến bộ của khảo sát xây dựng, hàng hải thiên văn và nhiều lĩnh vực khác. Pierre-Simon Laplace đã gọi logarit là
"...[một] thủ thuật đáng ngưỡng mộ có thể rút ngắn một công việc từ vài tháng xuống còn vài ngày, từ đó kéo dài cuộc đời của nhà thiên văn lên gấp đôi, và loại bỏ những sai sót cũng như sự chán nản không thể tách rời khỏi những phép tính dài lê thê."[37]Một công cụ góp phần lớn trong việc ứng dụng logarit vào thực tế là bảng logarit.[38] Bảng đầu tiên như vậy do Henry Briggs biên soạn năm 1617 ngay sau phát minh của Napier, tiếp đó là các bảng số với phạm vi và độ chính xác lớn hơn. Các bảng số này liệt kê các giá trị của logbx và bx với mỗi số x nằm trong một giới hạn nhất định, với độ chính xác nhất định theo một cơ số b nhất định [thường là cơ số 10]. Chẳng hạn, bảng đầu tiên của Briggs chứa logarit thập phân của tất cả các số nguyên từ 1 đến 1000 chính xác đến 14 chữ số thập phân. Vì hàm f[x] = bx là hàm ngược của logb x nên nó còn được gọi là antilogarit.[39] Tích và thương của hai số dương c và d thường được tính bằng tổng và hiệu các logarit của chúng. Tích cd hoặc thương c/d có được bằng cách tra cứu antilogarit của tổng và hiệu đó thông qua bảng logarit đó:
c d = b log b c ⋅ b log b d = b log b c + log b d {\displaystyle cd=b^{\log _{b}c}\cdot b^{\log _{b}d}=b^{\log _{b}c+\log _{b}d}\,}và
c d = c d − 1 = b log b c − log b d . {\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=b^{\log _{b}c-\log _{b}d}.\,}Đối với các phép tính thông thường yêu cầu độ chính xác cao, việc tra cứu hai logarit, tính tổng hoặc hiệu của chúng rồi tra cứu antilogarit nhanh hơn rất nhiều so với khi thực hiện phép nhân bằng các công cụ trước đây như prosthaphaeresis, vốn phụ thuộc vào các đẳng thức lượng giác. Phép tính lũy thừa và căn được đưa về phép nhân hoặc phép chia và tra cứu theo công thức
c d = [ b log b c ] d = b d log b c {\displaystyle c^{d}=\left[b^{\log _{b}c}\right]^{d}=b^{d\log _{b}c}\,}và
c d = c 1 d = b 1 d log b c . {\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=b^{{\frac {1}{d}}\log _{b}c}.\,}Nhiều bảng số còn liệt kê các giá trị logarit bằng cách cho biết phần đặc số và phần định trị của x, nghĩa là phần nguyên và phần thập phân của log10 x.[40] Đặc số của 10 · x là 1 cộng cho đặc số của x, và phần định trị của chúng là giống nhau. Tính chất này làm mở rộng phạm vi của bảng logarit: với một bảng liệt kê các giá trị của log10 x với mọi số nguyên x từ 1 đến 1000, logarit cơ số 10 của 3542 được tính gần đúng bằng
log 10 3542 = log 10 [ 10 ⋅ 354 , 2 ] = 1 + log 10 354 , 2 ≈ 1 + log 10 354. {\displaystyle \log _{10}3542=\log _{10}[10\cdot 354,2]=1+\log _{10}354,2\approx 1+\log _{10}354.}Một ứng dụng quan trọng khác của logarit là thước loga, một cặp thước chia độ theo logarit được sử dụng trong tính toán, như hình minh họa dưới đây:
Sơ đồ miêu tả thước loga. Bắt đầu từ vị trí 2 ở thước bên dưới, cộng khoảng cách đến 3 ở thước bên trên để đạt tích bằng 6. Thước loga hoạt động được vì nó được chia độ sao cho khoảng cách từ 1 đến x tỉ lệ thuận với logarit của x.
Tiền thân của nó, thước Gunter, được phát minh ngay sau công bố của Napier. William Oughtred sau đó đã phát triển nó lên thành thước loga, một cặp thước logarit có thể trượt lẫn nhau. Các số được đặt trên thước với khoảng cách về độ dài tỉ lệ thuận với hiệu các logarit của chúng. Khi trượt thước bên trên tức là ta đã cộng cơ học các logarit với nhau. Ví dụ, cộng khoảng cách từ 1 đến 2 ở thước bên dưới với khoảng cách từ 1 đến 3 ở thước bên trên cho tích của chúng bằng 6, và giá trị đó được đọc ở thước bên dưới. Thước loga từng là một công cụ tính toán thiết yếu của các nhà khoa học cho đến thập niên 1970, vì nó cho phép tính toán nhanh hơn nhiều so với kỹ thuật tra bảng số.[41]
Người ta nghiên cứu sâu hơn về logarit thông qua khái niệm hàm số. Hàm số là quy tắc cho một số duy nhất từ một số bất kỳ cho trước.[42] Ví dụ, hàm số cho lũy thừa bậc x của b từ bất kỳ số thực x nào với b là cơ số được viết là f [ x ] = b x . {\displaystyle f[x]=b^{x}.\,}
Hàm số logarit
Để giải thích định nghĩa logarit, cần phải chứng minh rằng phương trình
b x = y {\displaystyle b^{x}=y\,}có một nghiệm x duy nhất với y và b là số dương và b khác 1. Để chứng minh điều này, ta cần đến định lý giá trị trung gian trong giải tích sơ cấp.[43] Theo định lý, một hàm số liên tục cho hai giá trị m và n cũng cho bất kỳ giá trị nào nằm giữa m và n. Hàm số liên tục là hàm mà đồ thị có thể vẽ trên mặt phẳng tọa độ mà không cần nhấc bút lên.
Tính chất này có thể được chứng minh là đúng với hàm f[x] = bx. Vì f có thể mang giá trị dương lớn hay nhỏ tùy ý, nên mỗi số y > 0 đều nằm giữa f[x0] và f[x1] với x0 và x1 thích hợp. Do đó, định lý giá trị trung gian đảm bảo rằng phương trình f[x] = y có một nghiệm. Hơn nữa, nghiệm này là duy nhất vì hàm số f là hàm số tăng nếu b > 1 và là hàm số giảm nếu 0 < b < 1.[44]
Nghiệm x đó chính là logarit cơ số b của y, logby. Hàm số gán cho y giá trị logarit của nó được gọi là hàm số logarit. Hàm số logarit y = logb x xác định trên tập hợp số thực dương, cho giá trị là một số thực bất kỳ, và là hàm số tăng duy nhất thỏa mãn f[b] = 1 và f[uv] = f[u] + f[v].[45]
Hàm ngược
Đồ thị của hàm logarit logb[x] [màu xanh] đối xứng với đồ thị của hàm mũ bx [màu đỏ] theo đường thẳng x = y.
Công thức logarit của một lũy thừa cho thấy với một số x bất kỳ,
log b [ b x ] = x log b b = x . {\displaystyle \log _{b}\left[b^{x}\right]=x\log _{b}b=x.}Lần lượt lấy lũy thừa bậc x của b rồi lấy logarit cơ số b, ta lại có được x. Ngược lại, với một số dương y bất kỳ, biểu thức
b log b y = y {\displaystyle b^{\log _{b}y}=y}cho thấy khi lấy logarit rồi lũy thừa, ta lại có được y. Như vậy, khi đồng thời thực hiện phép lũy thừa và logarit trong cùng một số, ta có được số ban đầu. Vì vậy, logarit cơ số b là hàm ngược của f[x] = bx.[46]
Hàm ngược có liên hệ mật thiết với hàm số gốc ban đầu. Đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường thẳng x = y như hình bên phải: một điểm [t, u = bt] trong đồ thị của f[x] tương ứng với điểm [u, t = logbu] trong đồ thị của hàm logarit và ngược lại. Như vậy, logb[x] phân kỳ lên vô hạn [lớn hơn bất kỳ số nào đã biết] nếu x tăng đến vô hạn, với b lớn hơn 1. Trong trường hợp này, logb[x] là hàm số tăng. Khi b < 1 thì ngược lại, logb[x] dần về âm vô hạn. Khi x dần về 0 thì giới hạn của logbx là âm vô hạn với b > 1 và là dương vô hạn với b < 1.
Đạo hàm và nguyên hàm
Đồ thị của hàm logarit tự nhiên [màu xanh lá] và tiếp tuyến của nó tại x = 1,5 [màu đen]
Các tính chất giải tích của hàm số cũng đúng với hàm ngược của chúng.[43] f[x] = bx là một hàm số liên tục và khả vi, và logby cũng vậy. Một cách đại khái rằng, một hàm số liên tục là hàm số khả vi nếu đồ thị của nó không bị "đứt gãy" ở bất cứ điểm nào. Hơn nữa, vì đạo hàm của f[x] bằng ln[b]bx theo tính chất của hàm mũ nên theo quy tắc hàm hợp, đạo hàm của logbx được tính bằng
d d x log b x = 1 x ln b , {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}},}tức là hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm logarit cơ số b tại điểm [x, logb[x]] bằng 1/[x ln[b]].[44][47] Đặc biệt, đạo hàm của ln[x] là 1/x, nghĩa là nguyên hàm của 1/x bằng ln[x] + C. Đạo hàm với đối số hàm tổng quát f[x] là
d d x ln f [ x ] = f ′ [ x ] f [ x ] . {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f[x]={\frac {f'[x]}{f[x]}}.}Tỉ số ở vế phải được gọi là đạo hàm logarit của f[x]. Việc tính f'[x] bằng đạo hàm của ln[f[x]] được gọi là vi phân logarit.[48] Nguyên hàm của hàm logarit tự nhiên ln[x] là:[49]
∫ ln [ x ] d x = x ln [ x ] − x + C . {\displaystyle \int \ln[x]\,dx=x\ln[x]-x+C.}Từ phương trình này, có thể suy ra các công thức liên quan chẳng hạn như nguyên hàm của logarit cơ số khác bằng phép đổi cơ số.[50]
Biểu diễn tích phân của logarit tự nhiên
Logarit tự nhiên của t là diện tích phần hình được tô đậm nằm dưới đồ thị hàm số f[x] = 1/x [nghịch đảo của x].
Logarit tự nhiên của t bằng tích phân của 1/x dx từ 1 đến t:
ln [ t ] = ∫ 1 t 1 x d x . {\displaystyle \ln[t]=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}Nói cách khác, ln[t] là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị của hàm số 1/x, từ x = 1 đến x = t [hình bên phải]. Đó là hệ quả từ việc áp dụng định lý cơ bản của giải tích và việc đạo hàm của ln[x] là 1/x. Vế phải của phương trình trên có thể được xem là khái niệm về logarit tự nhiên. Các công thức logarit của tích và lũy thừa đều có thể được suy ra từ khái niệm này.[51] Chẳng hạn, ta có công thức tích ln[tu] = ln[t] + ln[u] vì
ln [ t u ] = ∫ 1 t u 1 x d x = [ 1 ] ∫ 1 t 1 x d x + ∫ t t u 1 x d x = [ 2 ] ln [ t ] + ∫ 1 u 1 w d w = ln [ t ] + ln [ u ] . {\displaystyle \ln[tu]=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {[1]}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {[2]}{=}}\ln[t]+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln[t]+\ln[u].}Đẳng thức [1] chia tích phân thành hai phần, còn đẳng thức [2] là phép đổi biến số [w = x/t]. Trong hình dưới đây, phép tách tích phân này tức là chia hình phẳng thành hai phần màu vàng và màu xanh. Thay đổi kích thước phần hình phẳng màu xanh bên trái theo hàng dọc tỉ lệ theo biến t và thu nhỏ lại nó theo hàng ngang theo tỉ lệ đó không làm thay đổi diện tích của nó. Di chuyển phần hình màu xanh một cách thích hợp thì nó lại khớp với đồ thị hàm số f[x] = 1/x. Do đó, phần hình phẳng màu xanh bên trái, tức là tích phân của f[x] từ t đến tu bằng tích phân từ 1 đến u. Tính chất này giải thích cho đẳng thức [2] một cách trực quan.
Hình ảnh minh họa công thức tích của logarit tự nhiên
Chứng minh tương tự, ta cũng có công thức lũy thừa ln[tr] = r ln[t]:
ln [ t r ] = ∫ 1 t r 1 x d x = ∫ 1 t 1 w r [ r w r − 1 d w ] = r ∫ 1 t 1 w d w = r ln [ t ] . {\displaystyle \ln[t^{r}]=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left[rw^{r-1}\,dw\right]=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln[t].}Phép biến đổi thứ hai có sự thay đổi biến số w = x1/r.
Tổng của dãy nghịch đảo các số tự nhiên,
1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ + 1 n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}được gọi là chuỗi điều hòa. Nó có liên hệ với logarit tự nhiên: khi n tiến đến vô hạn thì hiệu
∑ k = 1 n 1 k − ln [ n ] {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln[n]}hội tụ về một số được gọi là hằng số Euler–Mascheroni γ = 0,5772.... Mối liên hệ này có vai trò trong việc phân tích hoạt động của các thuật toán, chẳng hạn như sắp xếp nhanh.[52]
Ngoài ra, ln[x] còn có một biểu diễn tích phân được suy ra từ tích phân Frullani khi f[x] = e−x và a = 1, được ứng dụng trong vật lý và một số trường hợp khác:[53]
ln [ x ] = − lim ϵ → 0 ∫ ϵ ∞ d t t [ e − x t − e − t ] . {\displaystyle \ln[x]=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left[e^{-xt}-e^{-t}\right].}Tính siêu việt
Số thực không phải là số đại số được gọi là số siêu việt.[54] π và e là hai số như vậy, còn 2 − 3 {\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}} thì không phải. Hầu hết số thực đều là số siêu việt. Logarit là một ví dụ về một hàm số siêu việt. Định lý Gelfond–Schneider khẳng định rằng logarit thường cho các giá trị siêu việt.[55]
Các phím logarit [LOG cho cơ số 10 và LN cho cơ số e] trong một máy tính bỏ túi TI-83 Plus
Ta dễ dàng tính được logarit trong một số trường hợp, chẳng hạn như log10[1000] = 3. Tổng quát, logarit có thể tính bằng chuỗi lũy thừa hoặc trung bình hình học–đại số, hoặc tra cứu trong bảng số logarit tính sẵn với độ chính xác nhất định.[56][57] Phương pháp Newton, một phương pháp lặp đi lặp lại để tìm nghiệm gần đúng của một phương trình, cũng có thể được sử dụng để tính logarit, vì hàm ngược của nó [hàm mũ] có thể tính được một cách có hiệu quả.[58] Thông qua bảng số, các phương pháp tương tự như CORDIC có thể dùng để tính logarit chỉ qua phép cộng và phép dịch bit.[59][60] Hơn nữa, thuật toán logarit nhị phân tính lb[x] một cách đệ quy dựa vào phép bình phương x lặp đi lặp lại và áp dụng biểu thức
log 2 [ x 2 ] = 2 log 2 | x | . {\displaystyle \log _{2}\left[x^{2}\right]=2\log _{2}|x|.}Chuỗi lũy thừa
Chuỗi Taylor
Chuỗi Taylor của ln[z] có tâm tại z = 1. Hình ảnh động này thể hiện 10 xấp xỉ đầu tiên cùng xấp xỉ thứ 99 và 100. Các xấp xỉ này không hội tụ ngoài khoảng cách 1 đơn vị từ tâm.
Với mỗi số thực z thỏa mãn 0 < z ≤ 2, ta có:[61][nb 4]
ln [ z ] = [ z − 1 ] 1 1 − [ z − 1 ] 2 2 + [ z − 1 ] 3 3 − [ z − 1 ] 4 4 + ⋯ = ∑ k = 1 ∞ [ − 1 ] k + 1 [ z − 1 ] k k {\displaystyle {\begin{aligned}\ln[z]&={\frac {[z-1]^{1}}{1}}-{\frac {[z-1]^{2}}{2}}+{\frac {[z-1]^{3}}{3}}-{\frac {[z-1]^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }[-1]^{k+1}{\frac {[z-1]^{k}}{k}}\end{aligned}}}Nói một cách ngắn gọn, ln[z] có thể được tính gần đúng theo dãy biểu thức
[ z − 1 ] [ z − 1 ] − [ z − 1 ] 2 2 [ z − 1 ] − [ z − 1 ] 2 2 + [ z − 1 ] 3 3 ⋮ {\displaystyle {\begin{array}{lllll}[z-1]&&\\[z-1]&-&{\frac {[z-1]^{2}}{2}}&\\[z-1]&-&{\frac {[z-1]^{2}}{2}}&+&{\frac {[z-1]^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}}Ví dụ, với z = 1,5, biểu thức thứ ba cho kết quả là 0,4167, lớn hơn khoảng 0,011 so với ln[1,5] = 0,405465. Chuỗi này ước lượng ln[z] với độ chính xác tùy ý, miễn rằng số hạng tử là đủ lớn. Trong giải tích sơ cấp, ln[z] còn được gọi là giới hạn của chuỗi. Nó là chuỗi Taylor của logarit tự nhiên tại z = 1. Đặc biệt, nếu đặt z = 1 + x thì chuỗi trên được viết lại thành chuỗi Mercator
ln [ 1 + x ] = x 1 1 − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ , {\displaystyle \ln[1+x]={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ,}với −1 < x ≤ 1.[61] Chuỗi này do Isaac Newton và Nicholas Mercator tìm ra một cách độc lập và xuất hiện lần đầu tiên trong cuốn Logarithmotechnia của Mercator năm 1668.[62][63] Ví dụ, khi x = 0,1 thì xấp xỉ bậc nhất của chuỗi này cho giá trị là 0,1 với sai số dưới 5% so với kết quả chính xác là ln[1,1] = 0,0953. Từ chuỗi Taylor của ln[1 + x] và ln[1 − x] [có được bằng cách thay x bằng −x trong chuỗi Mercator], ta suy ra
ln [ 1 + x 1 − x ] = 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 ⋅ x 2 k + 1 = 2 [ x + x 3 3 + x 5 5 + ⋯ ] {\displaystyle \ln \left[{\frac {1+x}{1-x}}\right]=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\cdot x^{2k+1}=2\left[x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots \right]}với −1 < x < 1.[64] Chuỗi này do James Gregory phát hiện năm 1668 và có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của một số dương bất kỳ.[65]
Các chuỗi lũy thừa khác
Một chuỗi khác được dựa trên hàm hyperbolic ngược:
ln [ z ] = 2 ⋅ artanh z − 1 z + 1 = 2 [ z − 1 z + 1 + 1 3 [ z − 1 z + 1 ] 3 + 1 5 [ z − 1 z + 1 ] 5 + ⋯ ] , {\displaystyle \ln[z]=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left[{\frac {z-1}{z+1}}\right]}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left[{\frac {z-1}{z+1}}\right]}^{5}+\cdots \right],}với mỗi số thực z > 0.[61][nb 5] Sử dụng ký hiệu sigma, chuỗi trên có thể được viết lại thành
ln [ z ] = 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 [ z − 1 z + 1 ] 2 k + 1 . {\displaystyle \ln[z]=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}\right]^{2k+1}.}Chuỗi trên được suy ra từ chuỗi Taylor của ln [ 1 + x 1 − x ] {\displaystyle \textstyle \ln \left[{\frac {1+x}{1-x}}\right]} bằng cách đặt x = z − 1 z + 1 {\displaystyle \textstyle x={\frac {z-1}{z+1}}} .[65] Nó hội tụ nhanh hơn nhiều so với chuỗi Taylor, nhất là khi z gần bằng 1. Chẳng hạn, với z = 1,5, ba hạng tử đầu tiên của chuỗi tính được gần đúng ln[1,5] với sai số khoảng 3 × 10−6. Tính hội tụ nhanh chóng khi z gần bằng 1 có thể được tận dụng theo cách sau: cho một xấp xỉ y ≈ ln[z] với độ chính xác thấp và đặt
A = z exp [ y ] , {\displaystyle A={\frac {z}{\exp[y]}},\,}logarit của z là:
ln [ z ] = y + ln [ A ] . {\displaystyle \ln[z]=y+\ln[A].\,}Nếu giá trị y càng gần đúng thì giá trị A càng gần 1, do đó có thể tính logarit của nó một cách hiệu quả. A có thể được tính qua chuỗi lũy thừa, vốn hội tụ nhanh khi y không quá lớn. Phép tính logarit của một số z lớn có thể được đưa về phép tính các số nhỏ hơn bằng cách viết z = a · 10b, khi đó ln[z] = ln[a] + b · ln[10].
Một phương pháp khác liên quan có thể được áp dụng để tính logarit tự nhiên của một số nguyên dương bất kỳ. Khi thay z = n + 1 n {\displaystyle \textstyle z={\frac {n+1}{n}}} trong chuỗi trên, ta có
ln [ n + 1 ] = ln [ n ] + 2 ∑ k = 0 ∞ 1 2 k + 1 [ 1 2 n + 1 ] 2 k + 1 . {\displaystyle \ln[n+1]=\ln[n]+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left[{\frac {1}{2n+1}}\right]^{2k+1}.}Nếu đã biết logarit tự nhiên của một số nguyên n lớn thì chuỗi này hội tụ rất nhanh với tốc độ là [ 1 2 n + 1 ] 2 {\displaystyle \textstyle \left[{\frac {1}{2n+1}}\right]^{2}} .
Trung bình hình học–đại số
Phương pháp sử dụng trung bình hình học–đại số cho phép tính gần đúng logarit tự nhiên với độ chính xác rất cao. Theo Sasaki & Kanda [1982]Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFSasakiKanda1982 [trợ giúp], phương pháp này đặc biệt nhanh với độ chính xác khoảng 400 đến 1000 chữ số thập phân, trong khi phương pháp dùng chuỗi Taylor thường nhanh chóng hơn nếu không đòi hỏi độ chính xác cao. Trong bài báo được trích dẫn, ln[x] được ước lượng với sai số 2−p theo công thức sau [bởi Carl Friedrich Gauss]:[66][67]
ln [ x ] ≈ π 2 M [ 1 , 2 2 − m / x ] − m ln [ 2 ] . {\displaystyle \ln[x]\approx {\frac {\pi }{2M[1,2^{2-m}/x]}}-m\ln[2].}Ở đây M[x,y] chỉ trung bình hình học–đại số của x và y, có được bằng cách thực hiện lặp đi lặp lại các phép tính [ x + y ] / 2 {\displaystyle [x+y]/2} [trung bình cộng] và x y {\displaystyle {\sqrt {xy}}} [trung bình nhân] rồi lấy hai kết quả thu được làm giá trị mới của x và y. Hai số này nhanh chóng hội tụ lại về một giới hạn, và giới hạn đó là giá trị của M[x,y]. Giá trị m được chọn sao cho
x 2 m > 2 p / 2 {\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}}để đảm bảo độ chính xác cần thiết. Nếu m càng lớn thì phép tính M[x,y] cần nhiều bước hơn nhưng độ chính xác càng cao. Các hằng số π và ln[2] có thể tính nhanh qua các chuỗi hội tụ.
Thuật toán của Feynman
Theo Danny Hillis, một trong những cộng sự của Richard Feynman, khi còn ở Phòng thí nghiệm Quốc gia Los Alamos thực hiện Dự án Manhattan, Feynman đã phát triển một thuật toán gần giống với phép chia số lớn. Thuật toán này về sau được sử dụng trên các máy tính song song [Connection Machine]. Thuật toán dựa trên cơ sở rằng mọi số thực 1 < x < 2 {\displaystyle 1