Chuyên đề giải phương trình số phức

Nội dung tài liệu:
I. CƠ BẢN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP SỐ PHỨC1.1 Các định nghĩa về tập số phức C1.2. Các phép toán trên tập số phức1.3. Các tính chất cơ bản của số phức1.4. Lũy thừa của số ảo in – Cấp số cộng và cấp số nhân trong số phức1.5. Hàm số phức – Bài toán đồng nhất hàm bằng số ảo f[i] = Ai + B

II. DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC – CÔNG THỨC Ơ LE

2.1. Cách chuyển từ dạng đại số sang dạng lượng giác của một số phức2.2. Ứng dụng của dạng lượng giác – Công thức Ơ le – Công thức Moivre cơ bản2.3. Ứng dụng dạng lượng giác vào một số bài toán cực trị lũy thừa lớn2.4. Ứng dụng dạng lượng giác vào một số bài toán số phức có mô đun bằng 1

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

3.1. Phương trình bậc nhất chứa một biến3.2. Phương trình bậc nhất chứa hai biến3.3. Biện luận theo tham số phức một phương trình bậc nhất phức3.4. Hệ phương trình bậc nhất trong số phức

IV. CĂN BẬC HAI – PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO – XỬ LÍ MÔ ĐUN

4.1. Căn bậc hai của một số âm4.2. Căn bậc hai của một số phức4.3. Phương trình bậc 2 trên tập số phức4.4. Phương trình bậc cao – Phân tích nhân tử – Đặt ẩn phụ – Khai căn thức4.5. Các định lí VIET áp dụng vào phương trình bậc cao trắc nghiệm phức4.6. Phương trình phức dạng đa thức với các hệ số thực4.7. Xử lí mô đun trong các phương trình phức

V. BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ PHỨC – BÀI TOÁN CỰC TRỊ ĐẠI SỐ

5.1. Bất đẳng thức tam giác – Bài toán số phức đồng dạng5.2. Bất đẳng thức CÔ SI – Bất đẳng thức BUNHIA vận dụng trong số phức5.3. Một số bất đẳng thức không mẫu mực trong số phức

VI. MẶT PHẲNG PHỨC – GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG PHỨC

6.1. Biểu diễn điểm và các công thức cơ bản trên mặt phẳng phức6.2. Bất đẳng thức tam giác ứng dụng vào một số bất đẳng thức hình học6.3. Quỹ tích là đường thẳng trên mặt phẳng phức6.4. Quỹ tích là đường tròn trên mặt phẳng phức6.5. Elip trong mặt phẳng phức – Các bài toán nâng cao6.6. Quỹ tích là đường hypebol cơ bản6.7. Các đường cong bất kì: Đường thẳng – Đường tròn – Elip – Hypebol – Parabol6.8. Phép quay trong số phức – Nâng cao tư duy véc tơ phức6.9. Bài toán tương giao trên mặt phẳng phức – Hệ phương trình mô đun phức6.10. Biểu diễn số phức là một miền trên hình phẳng – Cực trị phức trên miền D6.11. Bài toán tâm tỉ cự trên mặt phẳng phức6.12. Bình phương vô hướng ứng dụng trên mặt phẳng phức

6.13. Các số phức có mô đun bằng nhau – Bài toán phân bố véc tơ trên vòng tròn

A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC.

I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.

1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn i2=-1

 Kí hiệu z=a+bi

• i: đơn vị ảo, • a: phần thực, • b: phần ảo.

Bạn đang xem tài liệu "Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp - Số phức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT Năm học: 2012 – 2013 A. SỐ PHỨC. CỘNG, TRỪ, NHÂN, CHIA SỐ PHỨC. I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Số phức là một biểu thức dạng a + bi, trong đó a, b là các số thực và số i thỏa mãn . Kí hiệu · i: đơn vị ảo, · a: phần thực, · b: phần ảo. Chú ý: được gọi là số thực được gọi là số ảo [hay số thuần ảo] vừa là số thực vừa là số ảo Biểu diễn hình học của số phức: M[a;b] biểu diễn cho số phức z Û z = a + bi 2. Hai số phức bằng nhau. Cho hai số phức và với 3. Cộng và trừ số phức. Cho hai số phức và với Số đối của z = a + bi là –z = – a – bi [a, b 4. Nhân hai số phức. Cho hai số phức và với 5. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z là số thực ; z là số ảo 6. Môđun của số phức z = a + bi 7. Chia hai số phức. Số phức nghịch đảo của z [z: Thương của z’ chia cho z [z: Với z, II. CÁC DẠNG TOÁN Bài toán 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau a. ; b. ; c. Giải. a. Phần thực a = 14; Phần ảo b = ; môđun b. Phần thực a = 2; Phần ảo b = 10; môđun c. Phần thực a = 2; Phần ảo b = 0; môđun BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm phần thực và phần ảo và môđun của các số phức sau: [4 – i] + [2 + 3i] – [5 + i] [2 + i]3 – [3 – i]3 [1 + i]2 – [1 – i]2 [2 + i]3 – [3 – i]3 [ 1- 2 i ] + 2. Tính 2i[3 + i][2 + 4i] 3 + 2i + [6 + i][5 + i] [2 – i]4 [3 – 2i][2 – 3i] [2 + 3i]2 [2 – 3i]3 + [5 – i]2 Bài toán 2. Tính Giải. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính. Bài toán 3. Tìm các số thực x và y biết Giải. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm các số thực x và y biết: [2x + 3] + [y + 2] i = x – [y – 4] i [2 – x] – i = + [3 – y] i [3x - 2] + [2y + 1] i = [x + 1] – [y – 5] i [2x + y] + [y + 2] i = [x + 2] – [y – 4] i Bài toán 4. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: a. ; b. Giải. Đặt , khi đó: a. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng b. Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là hình tròn tâm I[-3;0] và bán kính bằng 1 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức z thỏa mãn: 2|z – i| = z + 2 = 2 – 4i = 1 = và = 25 1 =1 và phần ảo của z =1 1 0] là dạng lương giác của z = a + bi [a, b là môđun của z [số thực] là một acgumen của z thỏa 2. Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác. Nếu z = r[costhì : 3. Công thức Moa-vrơ : thì Nhân xét: 4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Căn bậc hai của số phức z = r[cos [r > 0] là và II. CÁC DẠNG TOÁN. Bài toán 1. Viết dạng lượng giác của các số phức sau: a. ; b. Giải. a. Mô đun Gọi là một acgumen của z ta có Dạng lượng giác b. Mô đun Gọi là một acgumen của z ta có Dạng lượng giác BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. 1. Tìm một acgumen của mỗi số phức sau: 4 – 4i 1 – 2. Thực hiện phép tính 5 3[cos20o + isin20o][cos25o + isin25o] 3. Viết dưới dạng lượng giác các số phức sau: 1 + i z = Bài toán 2. Tính: a. ; b. Giải. a. b. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tính : []]7 [cos12o + isin12o]5 Bài toán 3. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: a. ; b. Giải. a. Dạng lượng giác: Hai căn bậc hai của z là và b. Dạng lượng giác Hai căn bậc hai của z là và BÀI TẬP TƯƠNG TỰ. Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau : –1 + 4 4 + 6 –1 – 2 1+i [ - i]6 D - 2009 B - 2009 A - 2009 CĐ - 2009 TN THPT - 2009 TN THPT - 2008 TN THPT - 2007 TN THPT - 2007 TN THPT - 2006 ----------------------------Hết-----------------------------

Tài liệu đính kèm:

• chuyen de so phuc.doc

A. Lý thuyết cơ bản

1. Căn bậc hai của số phức

Số phức  được gọi là một căn bậc hai của số phức 

           .

Nhận xét:

• - Một số phức  luôn có hai căn bậc hai là hai số đối nhau  và .

  Tổng quát: Căn bậc  của một số phức luôn có  giá trị.

• - Nếu  là số thực dương thì  có hai căn bậc hai là .

• - Nếu  là số thực âm thì  có hai căn bậc hai là .

2. Phương trình bậc hai ẩn phức

• Phương trình bậc hai với hệ số  thực:
   có .

  • + , phương trình có một nghiệm thực .

  • + , phương trình có 2 nghiệm thực .

  • + , ta có  có căn bậc hai là . Khi đó phương trình có hai nghiệm phức .

• Phương trình bậc hai với hệ số phức:
  

   có .

  • + , phương trình có nghiệm kép .

  • + , tìm một căn bậc hai  của . Khi đó phương trình có 2 nghiệm .

Chú ý: Định lí Viet vẫn đúng trên tập số phức.

B. Bài tập

Dạng 1. Tìm căn bậc hai của 

A. Phương pháp

Cách 1: Biến đổi  thành bình phương của một tổng hoặc một hiệu.

Cách 2: Giả sử  là một căn bậc hai của , khi đó

  

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 1.1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

    a] .                     b].                     c].    

    d].        e].

Lời giải:

    a] Căn bậc hai của  là .

    b] , suy ra  có hai căn bậc hai là .

    c] .

    Do đó  có hai căn bậc hai là  và .

    Cách 2: Giả sử  là một căn bậc hai của , ta có

    

      

    Hệ phương trình có hai nghiệm .

    Do đó  có hai căn bậc hai là  và .

    d] 

    Do đó  có hai căn bậc hai là .

    e] 

    Do đó z có hai căn bậc hai là  và .

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai ẩn phức

A. Bài tập ví dụ

Ví dụ 2.1: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

    a] .                     b] .

    c] .    d] .

Lời giải:

    a] .

    Cách 1: Ta có . Suy ra phương trình có 2 nghiệm .

    Cách 2: 

    

    b] .

    Cách 1: Ta có . Suy ra phương trình có 2 nghiệm .

    Cách 2:     

     .

    c] 

• Nếu 

• Nếu .

    Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là .

    d] .

    Ta có .

    Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là .    

Ví dụ 2.2 [THPT Chuyên KHTN – Hà Nội] Gọi  là 2 nghiệm của phương trình . Tính giá trị của .

    A. .                  B. .                    C. .                     D. .

Lời giải:

Cách 1:  có .

Suy ra phương trình có nghiệm .

Cách 2:

Ta có .

Chứng minh tương tự .

.

Chọn đáp án B.

Ví dụ 2.3 [ THPT Gia Lộc II] Gọi  là 2 nghiệm của phương trình  trên tập số phức. Tính giá trị của biểu thức .

    A. .                 B. .                   C. .                   D. .

Lời giải:

Theo định lí Viet có .

Ta có .

Chọn A.

Ví dụ 2.4 [THPT Chuyên Quang Trung – Bình Phước] Cho hai số phức  thỏa mãn  và . Tính .

    A. .                         B. .                             C. .                       D. .

Lời giải:

Cách 1:

Từ giả thiết, ta có 

Chọn A.

Cách 2: Đặt  và .

Từ giả thiết 

.

Chọn A.

Dạng 3. Giải phương trình quy về bậc hai ẩn phức

A. Phương pháp

    Đối với dạng này ta thường gặp phương trình bậc 3 hoặc phương trình bậc 4 dạng đặc biệt có thể quy được về bậc hai.

    Đối với phương trình bậc 3 [hoặc cao hơn], về nguyên tắc ta cố gắng phân tích vế trái thành nhân tử [ để đưa về phương trình tích] từ đó dẫn đến việc giải phương trình bậc nhất và bậc hai.

    Đối với một số phương trình khác, ta có thể đặt ẩn phụ để quy về phương trình bậc hai mà ta đã biết cách giải.

B. Bài tập ví dụ

Ví dụ 3.1: Giải các phương trình sau trên tập số phức

    a] .   b].    c] .

Lời giải:

    a] Đặt .

• Với 

  .

• Với 

  .

    Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là .

    b] 

    .

    Vậy phương trình có 3 nghiệm phức là .

    c] .

    Đặt . Phương trình trở thành .

• Với .

• Với .

Vậy phương trình có 4 nghiệm phức .

Ví dụ 3.2: Giải các phương trình sau:

    a] .    b] .

    c] .

Lời giải:

    a] 

             .

    b] Do tổng tất cả các hệ số của phương trình [1] bằng 0 nên [1] có nghiệm.

    Phương trình tương đương 

    

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.

    c]      [1]

    Do  không phải là nghiệm của phương trình [1] nên

    .

    Đặt , phương trình trở thành .

• Với         [2]

  Ta có .

  Phương trình [2] có 2 nghiệm .

• Với          [3]

  .

  Phương trình [3] có 2 nghiệm .

    Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm.    

Ví dụ 3.3: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a]  biết phương trình có nghiệm thuần ảo    

b]             c]              

Lời giải:

a] Giả sử  là một nghiệm của phương trình . Khi đó, ta có:

 là một nghiệm của phương trình. Nên ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:

.

b] Vì  không là nghiệm của phương trình nên

Phương trình  

Đặt , ta có: .

.

c] Đặt , ta có: 

.

.