- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại \[x\in\left[\dfrac{1}{3};5\right]\] thỏa mãn \[27^{3x^2+xy}=\left[1+xy\right]27^{15x}\] ?
Các câu hỏi tương tự
Có bao nhiêu số nguyên y sao cho tồn tại x thuộc x thuộc [1/3,4] thỏa mãn
27^[3x^2+xy]=[1+xy].27^[12x]
Trả lời
Nguyễn Thị Quỳnh Nga đang đợi giúp đỡ của bạn. Viết câu trả lời
Thêm câu trả lời sẽ cộng điểm.
LIVESTREAM 2K4 ÔN THI THPT QUỐC GIA 2022
BÀI TOÁN PHẢN ỨNG CỘNG CỦA ANKEN - 2k5 - Livestream HÓA cô THU
Hóa học
"ÔN THI GIỮA KÌ TRỌNG TÂM [Buổi 2 - Unit 8- Language]" - 2k5 Livestream TIẾNG ANH cô QUỲNH TRANG
Tiếng Anh [mới]
CHỮA ĐỀ THI GIỮA KÌ 2 TRƯỜNG THPT NGUYỄN THỊ MINH KHAI - 2K5 Livestream LÝ THẦY TUYÊN
Vật lý
"ÔN THI GIỮA KÌ TRỌNG TÂM [Buổi 1 - Unit 6 - Language]" - 2k5 Livestream TIẾNG ANH cô QUỲNH TRANG
Tiếng Anh [mới]
BÀI TẬP ANKEN - ANKIN TRỌNG TÂM - 2K5 - Livestream HÓA cô HUYỀN
Hóa học
BÀI TẬP HÀM SỐ LIÊN TỤC DỄ HIỂU NHẤT - 2k5 - Livestream TOÁN thầy QUANG HUY
Toán
ĐỀ MINH HỌA THI GIỮA KÌ 2 HAY NHẤT - 2k5 Livestream VẬT LÝ thầy TÂN KỲ
Vật lý
Xem thêm ...
Xét \[{{27}^{3{{x}^{2}}+xy}} - [1+xy]{{27}^{12x}}\]
Áp dụng bất đẳng thức: \[{a^x} \geqslant x[a - 1] + 1\], ta có
\[f[x] \geqslant 26[3{x^2} + xy - 12x] + 1 - [1 + xy] = 78{x^2} + [25y - 312]x > 0,\forall y \geqslant 13\]
Do đó y ≤ 12
\[\begin{gathered} y = 0 = > {27^{3{x^2} - 12}} = 1 3{x^2} - 12 = 0 \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.[loai] \hfill \\ y \leqslant - 3 = > xy VP < 0[loai] \hfill \\
\end{gathered} \]
y=-1; y = -2 [thỏa mãn]
Xét y > 0 có f[4] = 274y - [1 + 4y] ≥ 0, \[\forall \] y > 0 và \[f\left[ {\frac{1}{3}} \right] = f[x] = {3^{y - 11}} - \frac{y}{3} - 1 < 0,\forall y \in {\text{\{ }}1;2;...;12\} \]
Do đó pt f[x] = 0 có nghiệm \[x \in \left[ {\frac{1}{3};4} \right],\forall y \in {\text{\{ }}1;2;...;12\} \]
Vậy \[y \in {\text{\{ - 2; - 1;0;}}1;2;...;12\} \]
Chọn B
Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !
Số câu hỏi: 50
Câu hỏi: 47. Có bao nhiêu số nguyên \[y\]sao cho tồn tại \[x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\] thỏa mãn \[{27^{3{x^2} + xy}} = \left[ {1 + xy} \right]{.27^{9x}}\]? A. \[27\].
B. \[9\].
C. \[11\].
D. \[12\].
Lời giải
+] Ta có \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow 3{x^2} + xy = {\log _{27}}\left[ {1 + xy} \right] + 9x\]
\[\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 = {\log _{27}}t – t\], với \[t = 1 + xy > 0\].
+] Xét hàm số \[\,f\left[ x \right] = 3{x^2} – 9x – 1\].
Ta có \[ – \frac{{31}}{4} \le f\left[ x \right] < – 1\] \[\forall x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\].
+] Xét hàm số \[g\left[ t \right] = {\log _{27}}t – t,\,\,t > 0\].
\[g’\left[ t \right] = \frac{1}{{t\ln 27}} – 1\]; \[g’\left[ t \right] = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\ln 27}}\]
Ta có \[ – \frac{{31}}{4} \le f\left[ x \right] < – 1\] \[\forall x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\]. Suy ra \[ – \frac{{31}}{4} \le g\left[ t \right] < – 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \in \left[ { \approx {{8,07.10}^{ – 12}}; \approx 0,04} \right]\\t \in \left[ {1; \approx 8,4} \right]\end{array} \right.\]
hay \[\left[ \begin{array}{l} \approx {8,07.10^{ – 12}} < 1 + xy < \approx 0,04\\1 < 1 + xy < \approx 8,4\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \approx \frac{{ – 1 + {{8,07.10}^{ – 12}}}}{x} < y < \approx \frac{{ – 1 + 0,04}}{x}\\0 < y < \approx \frac{{7,4}}{x}\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} – 3 < y < – \frac{1}{3}\\0 < y \le 22\end{array} \right.\], [\[x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\], \[y\] nguyên].
+] Nhận thấy \[y = – 2;y = – 1\] thỏa mãn đề.
+] Với \[0 < y \le 22\], ta có \[\left[ 1 \right]\]\[\, \Leftrightarrow 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left[ {1 + xy} \right] + \left[ {1 + xy} \right] = \]\[0\].
Nhập hàm, thay các giá trị nguyên của y, kiểm tra nghiệm \[x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\] dẫn đến chọn \[1 \le y \le 9\].
[Chú ý hàm số \[f\left[ t \right] – t\] nghịch biến trên khoảng \[\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right]\] nên \[\forall y \ge 10\], ta có:\[\,3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left[ {1 + xy} \right] + \left[ {1 + xy} \right] \le 3{x^2} – 9x – 1 – {\log _{27}}\left[ {1 + 10x} \right] + \left[ {1 + 10x} \right] < 0\] \[\forall x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]\].
Do đó loại \[y \ge 10\]].
Vậy \[y \in \left\{ { – 2; – 1;1;2;…;9} \right\}\] nên có \[11\] giá trị nguyên của \[y\] thỏa mãn đề.
=======Lời giải của GV Vungoi.vn
* pt \[ \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 15x}} = xy + 1\].
\[ \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y > - \dfrac{1}{x}\], khi \[x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\] \[ \Rightarrow y > - 3\] thì mới tồn tại \[x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
\[ \Rightarrow \] Ta chặn được \[y > - 3\] => \[y \ge - 2\].
* \[pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1 = 0\].
Đặt \[f\left[ x \right] = g\left[ y \right] = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1\] ta có \[\left\{ \begin{array}{l}f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] = {3^{y - 14}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left[ 5 \right] = {27^{5y}} - 5y - 1\end{array} \right.\].
Nhận thấy ngay \[f\left[ 5 \right] \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\], chỉ bằng 0 tại \[y = 0\].
+ Xét \[y = 0 \Rightarrow \] thay vào phương trình ban đầu \[ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\], loại vì không có nghiệm thuộc \[\left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
+ Xét \[y \ne 0 \Rightarrow f\left[ 5 \right] > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}\].
1] Ta Table khảo sát \[f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right]\] với \[\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y = - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\].
\[ \Rightarrow f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right].f\left[ 5 \right] < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\]
\[ \Rightarrow \] Có 17 giá trị của \[y\] để tồn tại nghiệm \[x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
2] Từ bảng Table ta nhận thấy khi \[y \ge 16\] thì \[f\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] > 0\] và đồng biến.
Ta đi chứng minh khi \[y \ge 16\] thì phương trình vô nghiệm.
\[g'\left[ y \right] = x\left[ {{{27}^{3{x^2} + x\left[ {y - 15} \right]}}.\ln 27 - 1} \right] > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 16\\x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow g\left[ y \right] \ge g\left[ {16} \right] = {27^{3{x^2} + x}} - 16x - 1 = h\left[ x \right]\].
Ta có \[h'\left[ x \right] = {27^{3{x^2} + x}}\left[ {6x + 1} \right]\ln 27 - 16 > 0\,\,\forall x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
\[ \Rightarrow h\left[ x \right] > h\left[ {\dfrac{1}{3}} \right] = \dfrac{8}{3} > 0\].
\[ \Rightarrow \] Phương trình vô nghiệm với \[x \in \left[ {\dfrac{1}{3};5} \right]\].
Vậy đáp số có 17 giá trị nguyên của \[y\].