Đề bài
Tìm \[a, b, c\] để phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]có hai nghiệm là \[x_1=-2\]và\[x_2=3.\]
Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số \[a, b, c\] thỏa mãn yêu cầu bài toán\[?\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thay hai nghiệm \[x_1;x_2\] vào phương trình ta được hai phương trình từ đó ta biến đổi tìm được mối quan hệ giữa các hệ số.
Lời giải chi tiết
Vì \[x = -2\] là nghiệm của phương trình: \[a{x^2} + bx + c = 0\] nên ta có:
\[4a - 2b + c = 0\]
Vì \[x = 3\] là nghiệm của phương trình: \[a{x^2} + bx + c = 0\] nên ta có:
\[9a + 3b + c = 0\]
Ba số \[a, b, c\] là nghiệm của hệ phương trình:
\[\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a - 2b + c = 0} \cr
{9a + 3b + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5a + 5b = 0} \cr
{4a - 2b + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - a} \cr
{4a - 2\left[ { - a} \right] + c = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - a} \cr
{c = - 6a} \cr} } \right. \cr} \]
Vậy với mọi \[a 0\] ta có:\[\left\{ {\matrix{ {b = - a} \cr {c = - 6a} \cr} } \right.\] thì phương trình \[a{x^2} + bx + c = 0\]có nghiệm\[x_1=-2;\]\[x_2=3.\]
Ví dụ: \[a = 2,\]\[ b = -2,\]\[ c = -12\] ta có phương trình:
\[\eqalign{
& 2{x^2} - 2x - 12 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ {x + 2} \right]\left[ {x - 3} \right] = 0 \cr} \]
Có nghiệm:\[{x_1} = - 2;{x_2} = 3\]
Có vô số bộ ba \[a, b, c\] thỏa mãn yêu cầu bài toán.