Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BA lây điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho MB = NC. Kẻ \[MI \bot BC[I \in BC]\] và \[NK \bot BC[K \in BC].\] Chứng minh rằng :
a] \[\Delta MBI = \Delta NCK.\]
b] \[\Delta AIK\] cân.
c] IK // MN.
Lời giải chi tiết
a]Ta có: \[\eqalign{ & \widehat {ABC} = \widehat {IBM} \cr & \widehat {ACB} = \widehat {KCN} \cr} \] [hai góc đối đỉnh]
Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ACB}[\Delta ABC\] cân tại A] nên \[\widehat {IBM} = \widehat {KCN.}\]
Xét tam giác MBI vuông tại I và tam giác NCK vuông tại K ta có:
\[\eqalign{ & \widehat {IBM} = \widehat {KCN}[cmt] \cr & MB = NC[gt] \cr} \]
Do đó: \[\Delta MBI = \Delta NCK\] [cạnh huyền - góc nhọn]
b] Ta có: AB = AC [tam giác ABC cân tại A] và BM = CN [giả thiết]
=>AB + BM = AC + CN => AM = AN.
Xét tam giác AIM và AKN ta có:
\[\eqalign{ & IM = KN[\Delta MBI = \Delta NCK] \cr & \widehat {IMA} = \widehat {KNA}[\Delta MBI = \Delta NCK] \cr} \]
Do đó: \[\Delta AIM = \Delta AKN[c.g.c] \Rightarrow AI = AK.\] Vậy tam giác AIK cân tại A.
c] Tam giác ABC cân tại A \[\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}.\] Do đó: \[\widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat {BAC}} \over 2}[1]\]
Mặt khác AM = AN => tam giác AMN cân tại A \[\Rightarrow \widehat {AMN} = \widehat {ANM}.\]
Do đó: \[\widehat {AMN} = {{{{180}^0} - \widehat {BAC}} \over 2}[2]\]
Từ [1] và [2] ta có: \[\widehat {ABC} = \widehat {AMN}.\]
Mà hai góc ABC và AMN đồng vị. Vậy IK // MN.