Đề bài
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng [P]: x + 2y - z + 5 = 0 và hai điểm A[-2; -1; 1], B[6; 6; 5]. Trong các đường thẳng qua A và song song với [P], hãy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Lời giải chi tiết
Gọi [Q] là mặt phẳng đi qua A và song song với [P] thì phương trình của [Q] là [x + 2] + 2[y + 1] - [z - 1] = 0 hay x + 2y - z + 5 = 0.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên [Q]. Giả sử Δ là đường thẳng qua A và song song với [P], I là chân đường vuông góc kẻ từ B đến Δ.
Khi đó I [Q] và BH BI.
Do đó AH chính là đường phải tìm.
Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với [Q].
Phương trình của d là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = 6 + t\\y = 6 + 2t\\z = 5 - t\end{array} \right.\]
Để tìm giao điểm H = d [Q] ta thay phương trình của d vào phương trình của [Q], ta có:
6 + t + 2[6 + 2t] - [5 - t] + 5 = 0 t = -3.
Do đó H = [3; 0; 8]
Phương trình đường thẳng AH là: \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = - 1 + t\\z = 1 + 7t\end{array} \right.\]