Ôn tập thi học kì 1 toán 10 năm 2024
|
Tài liệu gồm 25 trang, tuyển tập 206 câu trắc nghiệm ôn thi học kì 1 Toán 10 Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống. NB1. Nhận biết mệnh đề. NB2. Tìm phần giao của hai tập hợp số. NB3. Tìm phần hợp của hai tập hợp số. TH4. Xác định đúng miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. NB5. Chỉ ra được cặp số (x;y) nào là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. VD6. Bài toán thực tế về hệ bất phương trình bậc nhất 2 ẩn. NB7. Tính giá trị trung bình của bảng số liệu cho trước. NB8. Chỉ ra được số trung vị với bảng số liệu đã sắp xếp. TH9. Tìm tứ phân vị của bảng số liệu cho trước. NB10. Tìm mốt của bảng số liệu cho trước. TH11. Tìm phương sai, độ lệch chuẩn. NB12. Tìm TXĐ của hàm phân thức. NB13. Tìm TXĐ của hàm căn. TH 14. Tìm TXĐ của hàm phân thức và hàm căn. VD15. Tìm m để hàm số có có TXĐ. NB16. Nhận biết đồ thị hàm số đi qua điểm. NB17. Nhận biết trục đối xứng của hàm số cho trước. NB18. Nhận biết đỉnh I của hàm bậc hai. TH19. Nhận dạng đồ thị của Parabol. VD20. Dấu của các hệ số a, b, c. VD21. Tương giao của hàm bậc nhất và hàm bậc hai có tham số m. VDC22. Bài toán thực tế của hàm số bậc hai. TH23. Xét dấu tam thức bậc hai không tham số. VD24. Dấu tam thức bậc hai có tham số (luôn âm, luôn dương). VDC25. Ứng dụng dấu của tam thức bậc hai. TH26. Tính được cạnh thứ ba khi biết độ dài 2 cạnh và 1 góc xen giữa của một tam giác. NB27. Nhận biết công thức của định lý cosin, sin, diện tích. NB28. Nhận biết quy tắc 3 điểm, quy tắc hình bình hành của phép cộng, phép trừ. TH29. Tính độ dài của vectơ tổng, hiệu. NB30. Nhận biết đẳng thức vectơ liên quan đến trung điểm, trọng tâm của tam giác. VD31. Phân tích véctơ qua hai véctơ không cùng phương. NB32. Tìm tọa độ của véctơ khi cho tọa độ điểm đầu và điểm cuối. VD33. Cho ba điểm A, B, C. Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. VD34. Tìm tọa độ điểm M để tam giác MAB vuông, cân. VDC35. Ứng dụng tọa độ véctơ. File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] Tổng hợp ĐỀ THI HK1 TOÁN 10 có đáp án và lời giải chi tiết của các trường Trung học Phổ thông, Sở Giáo dục và Đào tạo trên toàn quốc (File PDF). Các ĐỀ THI HK1 TOÁN 10 mới nhất sẽ được cập nhật liên tục và nhanh nhất có thể sau khi kỳ thi diễn ra, đáp án và lời giải chi tiết cũng sẽ được TOANMATH.com cập nhật sau đó nhằm giúp bạn đọc thuận tiện trong việc tra cứu và đối chiếu đáp án. File WORD các ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ 1 TOÁN 10 (nếu có) được đính kèm trong nội dung bài viết, nhằm giúp quý thầy, cô giáo có thể tải xuống miễn phí, phục vụ cho quá trình biên soạn và giảng dạy. Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ thêm ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ 1 TOÁN 10 bằng cách gửi về địa chỉ email: [email protected], nhằm tạo nguồn đề thi phong phú, đa dạng để các em học sinh lớp 10 tham khảo và rèn luyện. Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Phần 1 Mệnh đề - Tập hợp 1. Mệnh đề - Mệnh đề là những khẳng định có tính đúng(Đ) hoặc sai(S). Mỗi mệnh đề phải đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai. - Phủ định của một mệnh đề \(A\) là mệnh đề \(\overline A \). +\(\overline A \) đúng nếu \(A\) sai. +\(\overline A \) sai nếu \(A\) đúng. - Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề kéo theo \(A \Rightarrow B\) chỉ sai khi \(A\) đúng,\(B\) sai +\(B \Rightarrow A\) là mệnh đề đảo của \(A \Rightarrow B\). + Nếu \(A \Rightarrow B\) đúng thì \(A\)là điều kiện đủ để có \(B\)và \(B\) là điều kiện cần để có \(A\). - Mệnh đề tương đương: + Mệnh đề tương đương \(A \Leftrightarrow B\) là một mệnh đề đúng nếu \(A\) và \(B\) cùng đúng hoặc cùng sai. + Nếu \(A \Leftrightarrow B\) đúng thì:
- Mệnh đề chứa biến, kí hiệu p(x)
- Mệnh đề với mọi: \(\forall x \in X:p(x)\) - Mệnh đề tồn tại: \(\exists x \in X:p(x)\) - Phương pháp chứng minh bằng phản chứng: Để chứng minh P đúng, ta giả sử P sai rồi sử dụng lập luận toán học để suy ra mâu thuẫn. Các dạng toán thường gặp 1. Dạng 1: Định giá trị của một mệnh đề Phương pháp - Kiểm tra tính đúng sai của mệnh đề. - Mệnh đề chứa biến: Tìm tập hợp \(D\) của các biến \(x\) để \(p(x)\) đúng hoặc sai. 2. Dạng 2: Phát biểu định lí dưới dạng điều kiện cần, đủ Phương pháp Nếu \(A \Rightarrow B\) đúng: \(A\) là điều kiện đủ để có \(B\) Nếu \(B \Rightarrow A\) sai: \(B\) là điều kiện cần để có \(A\) Nếu \(A \Rightarrow B\) đúng và \(B \Rightarrow A\) đúng: \(A\) là điều kiện cần và đủ để có \(B\). 3. Dạng 3: Tìm mệnh đề phủ định Phương pháp
\(\overline {A \vee B} \Leftrightarrow \overline A \wedge \overline B \)
\(\overline {\exists x \in D:p(x)} \Leftrightarrow \forall x \in D:\overline {p(x)} \) 4. Dạng 4: Chứng minh định lí \(A \Rightarrow B\) Phương pháp: Cách 1: Chứng minh trực tiếp Ta giả thiết A đúng, sử dụng giả thiết và suy luận toán học để dẫn đến B đúng. Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng Ta giả thiết B sai, sử dụng suy luận toán học để dẫn đến A sai. 2.Tập hợp và các phép toán trên các tập hợp Tập con: \(A \subset B \Leftrightarrow \forall x,x \in A \Rightarrow x \in B\). Hai tập hợp bằng nhau: \(A = B \Leftrightarrow A \subset B\) và \(B \subset A\). Hợp của hai tập hợp: \(A \cup B = {\rm{\{ }}x\left| {x \in A} \right.\)hoặc \(x \in B{\rm{\} }}\). Giao của hai tập hợp: \(A \cap B = {\rm{\{ }}x\left| {x \in A} \right.\)và\(x \in B{\rm{\} }}\). Hiệu của 2 tập hợp bất kì: \(A\backslash B = \left\{ {x\left| {x \in A,x \notin B} \right.} \right\}\). Phép lấy phần bù của \(A\) trong \(E\)(\(A \subset E\)): \({C_E}A = \left\{ {x\left| {x \in E,x \notin A} \right.} \right\}\). * Các tập hợp con của tập hợp số thực \(\mathbb{N}* \subset \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) Các dạng toán thường gặp 1. Dạng 1: Tìm tập hợp Phương pháp Phép liệt kê: \(A = \left( {{a_1};{a_2};{a_3};...} \right)\) Nêu tính đặc trưng: \(A = \left\{ {x \in X|p(x)} \right\}\) 2. Dạng 2: Tìm tập hợp con Phương pháp \(\begin{array}{l}A \subset B \Leftrightarrow \forall x \in A \Rightarrow x \in B\\A \not\subset B \Leftrightarrow \exists x \in A \Rightarrow x \notin B\end{array}\) 3. Dạng 3: Hai tập hợp bằng nhau Phương pháp \(A = B \Leftrightarrow A \subset B\) và \(B \subset A\) \(A \ne B \Leftrightarrow A \not\subset B\) hoặc \(B \not\subset A\) 4. Dạng 4: Các phép toán giao, hợp, hiệu Phương pháp B1: Liệt kê A, B B2: \(A \cap B\):Lấy phần tử chung \(A \cup B\): Lấy phần tử chung và riêng (Chỉ ghi một lần các phần tử giống nhau) \(A\backslash B\): Lấy phần tử của A và không phải của B Quảng cáo Phần 2 Hàm số bậc nhất và bậc hai 1. Tập xác định của hàm số Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là tập hợp tất cả các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f\left( x \right)\) có nghĩa. Điều kiện xác định của một số dạng biểu thức: \(\dfrac{1}{A}\)có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ne 0\) \(\sqrt A \) có nghĩa khi và chỉ khi \(A \ge 0\) \(\dfrac{1}{{\sqrt A }}\) có nghĩa khi và chỉ khi \(A > 0\) 2. Tính chẵn – lẻ của hàm số Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\)
\(\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right.\forall x \in D\) Đồ thị của \(f\) nhận trục tung làm trục đối xứng.
\(\left\{ \begin{array}{l} - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right.\forall x \in D\) Đồ thị của \(f\) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. 3. Sự biến thiên Hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(D\) Hàm số đồng biến trên \(D\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\). Hàm số nghịch biến trên \(D\) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in D:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\). 4. Tịnh tiến đồ thị hàm số Trong \({\rm{Oxy}}\), cho đồ thị \(\left( G \right)\) của hàm số \(y = f\left( x \right)\); \(p\) và \(q\) là hai số dương tùy ý. Khi đó:
5. Hàm số bậc nhất
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).
Khi \(a > 0\), hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) Khi \(a < 0\), hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) Bảng biến thiên:
Đặc điểm: Đồ thị của hàm số \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\) là một đường thẳng \(d\) có hệ số góc a, không song song và không trùng với các trục tọa độ. Đồ thị cắt trục tung tại \(B\left( {0;b} \right)\) và cắt trục hoành tại \(A\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)\). Chú ý: + Hệ số góc \(a = \tan \alpha \) với \(\alpha \) là góc tạo bởi \(d\) và \(Ox\). + Hàm số \(y = b\left( {a = 0} \right)\) là hàm hằng, đồ thì là đường thẳng song song \(\left( {b \ne 0} \right)\) hoặc trùng \(\left( {b = 0} \right)\) với trục hoành. + Cho 2 đường thẳng \(\left( d \right):y = ax + b\) và \(\left( {d'} \right):y = a'x + b'\), ta có:
Hàm số bậc nhất trên từng khoảng là sự “lắp ghép” của các hàm số bậc nhất khác nhau trên từng khoảng. Hàm số có dạng: \(y = \left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}{\rm{ }}x \in {{\rm{D}}_1}\\{a_2}x + {b_2}{\rm{ }}x \in {{\rm{D}}_2}\\...\end{array} \right.\) với \({D_1},{D_2}\) là các khoảng (đoạn, nửa khoảng) trên \(\mathbb{R}\) Sự biến thiên: Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số: \(y = {a_1}x + {b_1}\) trên \({D_1}\) \(y = {a_2}x + {b_2}\) trên \({D_2}\) ... Từ đó suy ra sự biến thiên của hàm số đã cho trên \({D_1} \cup {D_2} \cup ...\) Đồ thị của hàm số này là đường tạo bởi việc lắp ghép đồ thị các hàm số \(y = {a_1}x + {b_1}\) trên \({D_1}\),\(y = {a_2}x + {b_2}\) trên \({D_2}\). Hàm số \(y = \left| {ax + b} \right|\left( {a \ne 0} \right)\): Là hàm số bậc nhất trên từng khoảng \(y = \left\{ \begin{array}{l}ax + b{\rm{khi}}x \ge - \dfrac{b}{a}\\ - ax - b{\rm{khi}}x \le - \dfrac{b}{a}\end{array} \right.\) Cách vẽ đồ thị hàm số\(y = \left| {ax + b} \right|\left( {a \ne 0} \right)\): Vẽ hai đường thẳng \(y = ax + b\) và \(y = - ax - b\)rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. 6. Hàm số bậc hai
- Nếu \(a > 0\), hàm số đồng biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \( - \dfrac{\Delta }{{4a}}\) tại \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\). - Nếu \(a < 0\), hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ; - \dfrac{b}{{2a}}} \right)\), nghịch biến trên \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; + \infty } \right)\). Giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\mathbb{R}\) là \( - \dfrac{\Delta }{{4a}}\) tại \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\).
- Có dáng là đường Parabol có đỉnh \(\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\),\(\Delta = {b^2} - 4ac\). - Trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \dfrac{b}{{2a}}\) - Bề lõm hướng lên trên khi \(a > 0\), hướng xuống dưới khi \(a < 0\). - Cách vẽ:
Các dạng toán thường gặp 1. Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số Phương pháp Tập xác định của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là tập các giá trị của \(x\)sao cho biểu thức \(f\left( x \right)\) có nghĩa Chú ý : Nếu \(P\left( x \right)\) là một đa thức thì: * \(\dfrac{1}{{P\left( x \right)}}\) có nghĩa\( \Leftrightarrow P\left( x \right) \ne 0\) * \(\sqrt {P\left( x \right)} \) có nghĩa\( \Leftrightarrow P\left( x \right) \ge 0\) * \(\dfrac{1}{{\sqrt {P\left( x \right)} }}\) có nghĩa\( \Leftrightarrow P\left( x \right) > 0\) 2. Dạng 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Phương pháp: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2: Kiểm tra - Nếu \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) chuyển qua bước ba. - Nếu \(\exists {x_0} \in D \Rightarrow - {x_0} \notin D\) kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ. Bước 3: Xác định \(f\left( { - x} \right)\) và so sánh với\(f\left( x \right)\). - Nếu bằng nhau thì kết luận hàm số là chẵn - Nếu đối nhau thì kết luận hàm số là lẻ - Nếu tồn tại một giá trị \(\exists {x_0} \in D\) mà \(f\left( { - {x_0}} \right) \ne f\left( {{x_0}} \right),f\left( { - {x_0}} \right) \ne - f\left( {{x_0}} \right)\) kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ. 3.Dạng 3: Xét tính đơn điệu của hàm số Phương pháp Cách 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\). Lấy \({x_1},{x_2} \in K;{\rm{ }}{x_1} < {x_2}\), đặt \(T = f({x_2}) - f({x_1})\) +) Hàm số đồng biến trên \(K \Leftrightarrow T > 0\). +) Hàm số nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow T < 0\). Cách 2: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(K\). Lấy \({x_1},{x_2} \in K;{\rm{ }}{x_1} \ne {x_2}\), đặt \(T = \dfrac{{f({x_2}) - f({x_1})}}{{{x_2} - {x_1}}}\) +) Hàm số đồng biến trên \(K \Leftrightarrow T > 0\). +) Hàm số nghịch biến trên \(K \Leftrightarrow T < 0\). 4. Dạng 4: Đồ thị của hàm số và tịnh tiến đồ thị hàm số Phương pháp: Sử dụng định nghĩa điểm thuộc đồ thị hàm số và định lý về tịnh tiến đồ thị một hàm số. 5. Dạng 5: Xác định hàm số bậc hai. Phương pháp Hàm số bậc hai có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\). Đồ thị của hàm số là Parabol (P) có:
6. Dạng 6: Tìm GTLN-GTNN nhờ Parabol Phương pháp Xét Parabol (P): \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a > 0} \right)\). Tìm \(\mathop {\max }\limits_D y = GTLN(y);\mathop {\min }\limits_D y = GTNN(y)\) với \(D = \left[ {\alpha ;\beta } \right]\) Hoành độ đỉnh Parabol (P): \({x_0} = - \dfrac{b}{{2a}}\). Nếu \({x_0} \in D:\left\{ \begin{array}{l}GTLN(y) = \max \left\{ {f\left( \alpha \right);f\left( \beta \right)} \right\}\\GTNN(y) = f\left( {{x_0}} \right)\end{array} \right.\) Nếu \({x_0} \notin D:\left\{ \begin{array}{l}GTLN(y) = \max \left\{ {f\left( \alpha \right);f\left( \beta \right)} \right\}\\GTNN(y) = \min \left\{ {f\left( \alpha \right);f\left( \beta \right)} \right\}\end{array} \right.\) Phần 3 Phương trình – Hệ phương trình 1. Điều kiện xác định của phương trình Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) có tập xác định lần lượt là \({D_1}\) và \({D_2}\). Khi đó phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có điều kiện xác định là \(x \in D = {D_1} \cap {D_2}\). Các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\). 2. Phương trình tương đương; Phương trình hệ quả 2.1. Phương trình tương đương và phép biến đổi tương đương Hai phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Một số phép biến đổi tương đương: 1. Cho phương trình \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) có tập xác định \(D\) và hàm số \(y = h\left( x \right)\) xác định trên \(D\) (TXĐ của \(h\left( x \right)\) có thể là một tập chứa \(D\)). Khi đó:
1. Nếu \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) cùng dấu thì: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\). 2.2. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) đều là nghiệm của \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) thì \({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\) là phương trình hệ quả của \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\). Ta viết: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow \)\({f_1}\left( x \right) = {g_1}\left( x \right)\). Phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả: \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Rightarrow {\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} = {\left[ {g\left( x \right)} \right]^2}\) 3. Phương trình bậc nhất; Phương trình bậc hai; Định lý Viéte 3.1. Giải và biện luận phương trình dạng \(ax + b = 0\)
3.2. Giải và biện luận nghiệm phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\)
\(x = \dfrac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}}\) và \(x = \dfrac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}}\)
3.3. Sử dụng định lý Viéet Cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có 2 nghiệm \({x_1} \le {x_2}\).Đặt \(S = - \dfrac{b}{a};P = \dfrac{c}{a}\). Khi đó: + Nếu \(P < 0\) thì \({x_1} < 0 < {x_2}\) (2 nghiệm trái dấu). + Nếu \(P > 0\) và \(S > 0\) thì \(0 < {x_1} \le {x_2}\) (2 nghiệm dương). (Cần tính \(\Delta \) trước). + Nếu \(P > 0\) và \(S < 0\) thì \({x_1} \le {x_2} < 0\) (2 nghiệm âm). (Cần tính \(\Delta \) trước). 4. Hệ phương trình Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.(I){\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0;a{'^2} + b{'^2} \ne 0} \right)\) Gọi \(d,d'\) lần lượt là các đường thẳng \(ax + by = c\) và \(a'x + b'y = c'\). Khi đó: Hệ (I) có nghiệm \( \Leftrightarrow d\) và \(d'\) cắt nhau. Hệ (I) vô nghiệm \( \Leftrightarrow d\) và \(d'\) song song. Hệ (I) vô số nghiệm \( \Leftrightarrow d\) và \(d'\) trùng nhau. Các bước giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Bước 1: Tính các giá trị \(D = ab' - a'b;{D_x} = cb' - c'b;{D_y} = ac' - a'c\) Bước 2: Biện luận 1. Nếu \(D \ne 0\) hệ có một nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{{D_x}}}{D};\dfrac{{{D_y}}}{D}} \right)\). 2. Nếu \(D = 0\) và:
Nguyên tắc giải hệ phương trình nhiều ẩn: Khử bớt ẩn bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số như đối với hệ phương trình hai ẩn. Các dạng toán thường gặp 1. Dạng 1: Giải và biện luận nghiệm của phương trình \(ax + b = 0\) Phương pháp Sử dụng định lí về giải và biện luận nghiệm phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Dạng 2: Tìm m để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp Sử dụng các định lí về nghiệm của phương trình để biện luận 3. Dạng 3: Giải và biện luận nghiệm phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) 4. Dạng 4: Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp Xét các khoảng rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối 5. Dạng 5: Phương trình chứa ẩn ở mẫu – Phương trình bậc cao Phương pháp Đưa về phương trình đơn giản hơn (phương trình tích, phương trình bậc nhất và bậc hai, phương trình trùng phương,...) để giải. 6. Dạng 6: Phương trình vô tỷ (chứa căn thức) +) \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\) +) \(\sqrt {f\left( x \right)} = \sqrt {g\left( x \right)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right.\) ở đây, với các bài toán cụ thể các em có thể chọn một trong hai điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) hoặc \(g\left( x \right) \ge 0\) phụ thuộc vào hai hàm \(f\left( x \right),g\left( x \right)\), hàm nào đơn giản hơn thì ta chọn, không cần giải hết các điều kiện \(f\left( x \right) \ge 0\) và \(g\left( x \right) \ge 0\). +) \(f\left( x \right).\sqrt {g\left( x \right)} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}g\left( x \right) = 0\\\left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\). 7. Dạng 7: Hệ hai phương trình 2 ẩn
\( \bullet \) Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\d{x^2} + exy + f{y^2} + gx + hy = i\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\) \( \bullet \) Phương pháp giải: - Bước 1: Từ phương trình bậc nhất (1), rút \(x\) theo \(y\) (hoặc \(y\) theo \(x\)). - Bước 2: Thế vào phương trình còn lại (2) để giải tìm \(x\) (hoặc tìm \(y\)).
\( \bullet \) Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí \(x\) và \(y\) cho nhau thì hệ không thay đổi và trật tự các phương trình cũng không thay đổi. \( \bullet \) Phương pháp giải: - Bước 1: đặt \(S = x + y,{\rm{ }}P = xy.\) - Bước 2: Giải hệ với ẩn \(S,{\rm{ }}P\) với điều kiện có nghiệm \((x;y)\) là \({S^2} \ge 4P.\) - Bước 3: Tìm nghiệm \((x;y)\) bằng cách thế vào phương trình \({X^2} - SX + P = 0.\) Chú ý: Một số biến đổi để đưa về dạng tổng – tích thường gặp: +) \({x^2} + {y^2} = {(x + y)^2} - 2xy = {S^2} - 2P.\) +) \({x^3} + {y^3} = {(x + y)^3} - 3xy(x + y) = {S^3} - 3SP.\) +) \({(x - y)^2} = {(x + y)^2} - 4xy = {S^2} - 4P.\) +) \({x^4} + {y^4} = {({x^2} + {y^2})^2} - 2{x^2}{y^2} = {S^4} - 4{S^2}P + 2{P^2}.\) +) \({x^4} + {y^4} + {x^2}{y^2} = ({x^2} - xy + {y^2})({x^2} + xy + {y^2}) = \cdot \cdot \cdot \)
\( \bullet \) Dấu hiệu nhận dạng: Khi thay đổi vị trí \(x\) và \(y\) cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia). \( \bullet \) Phương pháp giải: - Bước 1: Lấy vế trừ vế và phân tích thành nhân tử đưa về dạng \((x - y).f(x) = 0,\) - Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa \(x,y\) từ phương trình thu được. Chú ý: - Ta luôn có \(x = y\) từ phương trình ở bước 1. - Từ mối quan hệ tìm được ở bước 2 ta biến đổi các phương trình đầu bài và giải nghiệm. ¬ Lưu ý: Đối với hệ đối xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.
\( \bullet \) Dạng tổng quát: \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2} = {d_1}\\{a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2} = {d_2}\end{array} \right.\) \((i)\) \( \bullet \) Phương pháp giải: \((i) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_2}({a_1}{x^2} + {b_1}xy + {c_1}{y^2}) = {d_1}.{d_2}\\{d_1}({a_2}{x^2} + {b_2}xy + {c_2}{y^2}) = {d_1}.{d_2}\end{array} \right.\) \(\begin{array}{l}(1)\\(2)\end{array}\) Lấy \((1) - (2) \Rightarrow ({a_1}{d_2} - {a_2}{d_1}) \cdot {x^2} + ({b_1}{d_2} - {b_2}{d_1}) \cdot xy + ({c_1}{d_2} - {c_2}{d_1}) \cdot {y^2} = 0.\) Đây là phương trình đẳng cấp bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ \(x,y\) ¬ Lưu ý: Dạng \(\left\{ \begin{array}{l}{f_m}(x;y) = a\\{f_n}(x;y) = {f_k}(x;y)\end{array} \right.\) với \({f_m}(x;y),{\rm{ }}{f_n}(x;y),{\rm{ }}{f_k}(x;y)\) là các biểu thức đẳng cấp bậc \(m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}k\) thỏa mãn \(m + n = k.\) Khi đó ta sẽ sử dụng kỹ thuật đồng bậc để giải. Tức biến đổi hệ \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {f_m}(x;y)\\a \cdot {f_n}(x;y) = a \cdot {f_k}(x;y)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow {f_m}(x;y) \cdot {f_n}(x;y) = a.{f_k}(x;y)\) và đây là phương trình đẳng cấp bậc k. Phần 4 Vectơ 1. Tổng, hiệu của hai vectơ Các quy tắc: Quy tắc ba điểm: Cho \(A,B,C\) tùy ý, ta có \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) Quy tắc hình bình hành: Nếu \(ABCD\) là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) Ghi nhớ:
+) \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow {0.} \) +) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MC} \)
+) \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) +) \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \) Quy tắc về hiệu vectơ: Nếu \(\overrightarrow {MN} \) là một vectơ đã cho thì với điểm \(O\) bất kì ta luôn có \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {ON} - \overrightarrow {OM} \) 2. Tích của véc tơ với một số Tích của số \(k \ne 0\) với vectơ \(\overrightarrow a \): Nếu \(k \ge 0\) thì \(k\overrightarrow a \) cùng hướng với \(\overrightarrow a \) và độ dài\(\left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\), nếu \(k < 0\) thì \(k\overrightarrow a \) ngược hướng với \(\overrightarrow a \) và \(\left| {k\overrightarrow a } \right| = \left| k \right|\left| {\overrightarrow a } \right|\). Quy ước: \(0.\overrightarrow a = \overrightarrow 0 ;k.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \). Tính chất: Với hai vec tơ bất kì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) và mọi số thực \(k,l\), ta có:
Điều kiện để hai vectơ cùng phương: \(\overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 } \right) \Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow b = k\overrightarrow a \) Ba điểm \(A,B,C\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow \exists k:\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \). Biểu thị một vectơ qua hai vectơ không cùng phương: Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương, \(\overrightarrow x \) là một vectơ tùy ý. Khi đó luôn tồn tại duy nhất cặp số \(m\) và \(n\) sao cho \(\overrightarrow x = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \). Phương pháp phân tích một vectơ qua 2 vectơ không cùng phương: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số với một vectơ để biến đổi. Chú ý: Cho đoạn thẳng \(AB\), một điểm \(I \in AB\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} = k\overrightarrow {IB} \) thì với điểm \(M\) bất kì ta luôn có: \(\overrightarrow {MI} = \dfrac{{ - 1}}{{k - 1}}\overrightarrow {MA} + \dfrac{k}{{k - 1}}\overrightarrow {MB} \) 3. Hệ trục tọa độ - Hai vec tơ bằng nhau: \(\overrightarrow a \left( {x;y} \right) = \overrightarrow b \left( {x';y'} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = x'\\y = y'\end{array} \right.\) - Biểu thức tọa độ của các phép toán vec tơ: - Cho \(\overrightarrow a = \left( {x;y} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {x';y'} \right)\). Khi đó
- Với \(M({x_M};{y_M});N({x_N};{y_N}) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {{x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M}} \right)\) - Nếu \(P\) là trung điểm của \(MN\) thì \({x_P} = \dfrac{{{x_M} + {x_N}}}{2};{y_P} = \dfrac{{{y_M} + {y_N}}}{2}\). - Nếu G là trọng tâm tam giác \(ABC\) thì \({x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\). Phần 5 Tích vô hướng và ứng dụng 1. Giá trị lượng giác góc \(0^\circ \le \alpha \le 180^\circ \) Tính chất: \(\begin{array}{l}\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha \\\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha \\\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\\\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\end{array}\) \(\begin{array}{l}\sin \left( { - \alpha } \right) = - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\alpha \\\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha \\\tan \left( { - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)\\\cot \left( { - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)\end{array}\) 2. Tích vô hướng Tích vô hướng của \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \): \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)\) Tính chất: Với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý và mọi số thực \(k\), ta có:
Các hệ thức quan trọng Cho \(\overrightarrow a = \left( {x;y} \right);\overrightarrow b = \left( {x';y'} \right)\). Khi đó
Hệ thức lượng trong tam giác và công thức diện tích Cho tam giác \(ABC\) có \(a = BC;b = AC;c = AB;R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\); \(r\) là bán kính đường trong nội tiếp; \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\); \({h_a}\) là đường cao kẻ từ \(A\); \({m_a}\) là trung tuyến kẻ từ \(A\).
\(S = \dfrac{1}{2}a{h_a} = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{{abc}}{{4R}} = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \) |
