Video hướng dẫn giải
- LG 1
- LG 2
Xét hàm số:
\[\displaystyle f[x] = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\]
LG 1
Cho biến \[x\] những giá trị khác 1 lập thành dãy số \[{x_n},{\rm{ }}{x_n}\; \to {\rm{ }}1\]như trong bảng sau:
Khi đó, các giá trị tương ứng của hàm số
\[f[{x_1}],{\rm{ }}f[{x_2}], \ldots ,{\rm{ }}f[{x_n}],{\rm{ }} \ldots \]
cũng lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là\[[f[{x_n}]].\]
a] Chứng minh rằng\[f\left[ {{x_n}} \right] = 2{x_n} = \dfrac{{2n + 2}}{n}\]
b] Tìm giới hạn của dãy số \[[f[{x_n}]].\]
Phương pháp giải:
a] Tính và rút gọn \[f\left[ {{x_n}} \right]\] suy ra đáp số, chú ý \[x_n=\dfrac{{n + 1}}{n}\].
b] Xét giới hạn \[\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [f[{x_n}] - 2]\] và suy ra đáp số.
Lời giải chi tiết:
a] \[\displaystylef[{x_n}] = {{2{x_n}^2 - 2{x_n}} \over {{x_n} - 1}} = {{2{x_n}[{x_n} - 1]} \over {{x_n} - 1}} \] \[= 2{x_n}\]
\[\displaystyle{x_n} = {{n+1} \over {n}} \] \[\displaystyle \Rightarrow f[{x_n}] = 2{x_n} = 2.{{n+1} \over {n}} = {{2n+2} \over {n}}\]
b] \[\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [f[{x_n}] - 2] \] \[\displaystyle = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [{{2n+2} \over {n}} - 2] = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}}\]
Ta có: \[\displaystyle\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {{ 2} \over {n}} = 0 \] \[\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } [f[{x_n}] - 2] = 0 \] \[\displaystyle \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } f[{x_n}] = 2\]
LG 2
Chứng minh rằng với dãy số bất kì \[{x_n},{\rm{ }}{x_n}\; \ne {\rm{ }}1\]và \[{x_n}\; \to {\rm{ }}1\], ta luôn có\[\;f[{x_n}] \to 2.\]
[Với tính chất thể hiện trong câu 2, ta nói hàm số\[\displaystyle f[x] = {{2{x^2} - 2x} \over {x - 1}}\]có giới hạn là 2 khi \[x\] dần tới 1].
Phương pháp giải:
Tính \[\lim f[{x_n}]\] dựa vào công thức có được ở phần 1a.
Lời giải chi tiết:
\[\lim f[{x_n}] = \lim\,2{x_n} \] \[= 2\lim {x_n} = 2.1 = 2\]