Đề bài
Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. Gọi I là giao điểm của AF và DE, K là giao điểm của BF và CE.
Chứng minh rằng:
a] Tứ giác AECF là hình bình hành.
b] Tứ giác AEFD là hình gì ? Vì sao ?
c] Chứng minh tứ giác EIFK là hình chữ nhật.
d] Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông.
Lời giải chi tiết
a] Ta có \[AE = EB = {{AB} \over 2}\] [E là trung điểm của AB],
\[DF = FC = {{CD} \over 2}\] [F là trung điểm của CD]
Và \[AB = CD\] [ABCD là hình bình hành]
\[ \Rightarrow AE = CF = EB = DF\]
Tứ giác AECF có AE // CF [AB // CD, \[E \in AB,\,\,F \in CD\]] và \[AE = CF\]
\[ \Rightarrow AECF\] là hình bình hành.
b] Ta có: \[AB = 2AD\,\,\left[ {gt} \right]\] và \[AB = 2AE\] [E là trung điểm của AB] \] \Rightarrow AD = AE\]
Tứ giác AEFD có AE // DF và \[AE = DF\] [chứng minh câu a]
\[ \Rightarrow \] Tứ giác AEFD là hình bình hành
Mà \[AE = AD\] [chứng minh trên] nên AEFD là hình thoi.
c] Ta có \[AF \bot DE\] tại I [AEFD là hình bình hành]
Và \[AF//EC\] [AECF là hình bình hành] \[ \Rightarrow EC \bot DE \Rightarrow \widehat {IEK} = {90^0}\]
Ta có \[EF = AE\] [AEFD là hình thoi]
Và \[AE = {1 \over 2}AB\] [E là trung điểm của AB] \[ \Rightarrow EF = {1 \over 2}AB\]
\[\Delta AFB\] có FE là đường trung tuyến [E là trung điểm của AB] và \[EF = {1 \over 2}AB\].
\[ \Rightarrow \Delta AFB\] vuông tại F \[ \Rightarrow \widehat {IFK} = {90^0}\]
Tứ giác EIFK có:
\[\widehat {EIF} = {90^0}\] [\[IE \bot IF\] tại I]
\[\eqalign{ & \widehat {IEK} = {90^0}\,\,\left[ {cmt} \right] \cr & \widehat {IFK} = {90^0}\,\,\left[ {cmt} \right] \cr} \]
Do đó tứ giác EIFK là hình chữ nhật.
d] Ta có tứ giác EIFK là hình chữ nhật.
I là trung điểm của ED [tứ giác AEFD là hình bình hành]
Tương tự K là trung điểm của EC.
Do đó IK là đường trung bình của tam giác ECD \[ \Rightarrow IK \bot CD\]
Mặt khác AD // EF [tứ giác AEFD là hình bình hành]
Do đó tứ giác EIFK là hình vuông.
\[ \Leftrightarrow \] Hình chữ nhật EIFK có \[IK \bot EF \Leftrightarrow IK \bot AD \Leftrightarrow AD \bot CD\]
\[ \Leftrightarrow \] Hình bình hành ABCD có \[\widehat {ADC} = {90^0}\]
Vậy điều kiện của hình bình hành ABCD là \[\widehat {ADC} = {90^0}\] để tứ giác EIFK là hình vuông.