Đề bài
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy M bất kì thuộc cạnh BC, kẻ \[MD \bot AB,ME \bot AC.\] Gọi \[D'\] là điểm đối xứng của D qua BC.
a] Chứng minh ba điểm E, M, \[D'\] thẳng hàng.
b] Kẻ \[BF \bot AC.\] Chứng minh \[ED' = BF.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Sử dụng định nghĩa: Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳngddnếuddlà đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
+] Sử dụng tính chất đường trung trực: Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
+] Trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường trung trực, đường phân giác.
Lời giải chi tiết
a] D' đối xứng với D qua BC \[ \Rightarrow DD' \bot BC\] và \[ID' = ID\] [I là giao điểm của \[DD'\] và \[BC\]
Suy ra tam giác MDD' có MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
\[ \Rightarrow \Delta DMD'\] cân tại M, do đó đường cao MI đồng thời là phân giác: \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\] , mà \[\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_3}}\] [cùng phụ với \[\widehat B = \widehat C\] ] \[ \Rightarrow \widehat {{M_2}} = \widehat {{M_3}}\] mà \[\widehat {{M_3}} + \widehat {EMB} = {180^ \circ }\]
\[ \Rightarrow \widehat {{M_2}} + \widehat {EMB} = {180^ \circ }\] chứng tỏ \[E,M,D'\] thẳng hàng.
b] Vì tam giác MDD' cân tại M nên \[MD=MD'\]
Xét\[\Delta BDM\] và \[\Delta BDM\] có:
\[MD=MD'\] [cmt]
\[\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\] [cmt]
Cạnh MB chung
Suy ra \[\Delta BDM = \Delta BDM\left[ {c.g.c} \right]\]
\[ \Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {BDM} = {90^ \circ }\] hay \[DB \bot DE \Rightarrow DB//EF.\]
Lại có \[BF// DE\left[ { \bot AC} \right]\] nên \[BFED\] là hình thang có hai cạnh bên song song \[ \Rightarrow ED= BF.\]