Đề bài
Giải phương trình 3cos26x + 8sin3x cos3x 4 = 0
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Biến đổi phương trình về bậc hai với ẩn \[t=\sin 6x \].
- Giải phương trình ẩn \[t\] và suy ra nghiệm.
Lời giải chi tiết
\[3cos^{2}6x + 8sin3x cos3x - 4 = 0\\ 3[1-sin^{2}6x]+ 4sin6x - 4 = 0 \\ - 3sin^{2}6x + 4sin6x - 1 = 0\]
Đặt \[ sin6x = t \] với điều kiện \[-1 t 1 \][*], ta được phương trình bậc hai theo t:
-3t2+ 4t - 1 = 0[1]
Δ = 42- 4.[-1].[-3] = 4
Phương trình [1] có hai nghiệm là:
\[\eqalign{
& {t_1} = {{ - 4 + \sqrt 4 } \over {2.[ - 3]}} = {1 \over 3}[TM] \cr
& {t_2} = {{ - 4 - \sqrt 4 } \over {2.[ - 3]}} = 1\,[TM] \cr} \]
Ta có:
\[ sin6x = {{ 1} \over 3} 6x = arcsin {{ 1} \over 3} + k2\pi\] và \[6x = \pi - arcsin {{ 1} \over 3} + k2\pi \\ x = {1 \over 6} arcsin {{ 1} \over 3}+{{k\pi } \over 3}\] và \[x = {\pi \over 6} - {1 \over 6} arcsin {{ 1} \over 3} + {{k\pi } \over 3}, k \in \mathbb{Z}\]
\[sin6x = 1 sin6x = \sin {{ \pi } \over 2}\]
\[ 6x = {{ \pi } \over 2} + k2π, k \mathbb{Z}\]
\[ x = {{ \pi } \over 12} + {{k\pi } \over 3}, k \mathbb{Z}\]