- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
- LG e
- LG f
Giải các phương trình sau:
LG a
\[3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho thành \[3\left[ {1 - {{\cos }^2}2x} \right] + 7\cos 2x - 3 = 0\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
3{\sin ^2}2x + 7\cos 2x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 3\left[ {1 - {{\cos }^2}2x} \right] + 7\cos 2x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow - 3{\cos ^2}2x + 7\cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow \cos 2x\left[ { - 3\cos 2x + 7} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
- 3\cos 2x + 7 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos 2x = 0\\
\cos 2x = \frac{7}{3}\left[ {VN} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\]
Vậy \[x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}\]
LG b
\[6{\cos ^2}x + 5\sin x - 7 = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho thành \[6\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right] + 5\sin x - 7 = 0\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
6{\cos ^2}x + 5\sin x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 6\left[ {1 - {{\sin }^2}x} \right] + 5\sin x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow - 6{\sin ^2}x + 5\sin x - 1 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = \frac{1}{2}\\
\sin x = \frac{1}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \\
x = \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi \\
x = \pi - \arcsin \frac{1}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = {\pi \over 6} + k2\pi ,x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi ,\] \[x =\arcsin \frac{1}{3} + k2\pi ,\] \[x = \pi -\arcsin \frac{1}{3} + k2\pi\].
LG c
\[\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Sử dụng công thức \[\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\cos 2x - 5\sin x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - 5\sin x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 5\sin x + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\sin x = - \frac{1}{2}\\
\sin x = - 2\left[ {VN} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\
x = \frac{{7\pi }}{6} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = - {\pi \over 6} + k2\pi ,x = {7\pi \over 6} + k2\pi \]
LG d
\[\cos 2x + \cos x + 1 = 0\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Sử dụng công thức \[\cos 2x = 2{\cos ^2}x-1\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
\cos 2x + \cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 + \cos x + 1 = 0\\
\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + \cos x = 0\\
\Leftrightarrow \cos x\left[ {2\cos x + 1} \right] = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
2\cos x + 1 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\cos x = 0\\
\cos x = - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi
\end{array} \right.
\end{array}\]
Vậy \[x = {\pi \over 2} + k\pi ,x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \]
LG e
\[6{\sin ^2}3x + \cos 12x = 14\]
Lời giải chi tiết:
Ta có \[2{\sin ^2}3x = 1 - \cos 6x\] và \[\cos 12x = 2{\cos ^2}6x - 1.\] Do đó
\[\eqalign{
& 6{\sin ^2}3x - 3\cos 12x = 14 \cr&\Leftrightarrow 3\left[ {1 - \cos 6x} \right] + 2{\cos ^2}6x - 1 = 14 \cr
& \Leftrightarrow 2{\cos ^2}6x - 3\cos 6x - 12 = 0 \cr&\Leftrightarrow \cos 6x = {{3 \pm \sqrt {105} } \over 4} \cr} \]
Dễ thấy \[\left| {{{3 \pm \sqrt {105} } \over {4}}} \right| > 1\] nên các phương trình này vô nghiệm
Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.
LG f
\[4{\sin ^4}x + 12{\cos ^2}x = 7\]
Phương pháp giải:
Hướng dẫn: Sử dụng công thức \[{\sin ^4}x = {\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right]^2}\] để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình trùng phương đối với \[\cos x\]
Lời giải chi tiết:
\[\begin{array}{l}
4{\sin ^4}x + 12{\cos ^2}x = 7\\
\Leftrightarrow 4{\left[ {1 - {{\cos }^2}x} \right]^2} + 12{\cos ^2}x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 4\left[ {{{\cos }^4}x - 2{{\cos }^2}x + 1} \right] + 12{\cos ^2}x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow 4{\cos ^4}x + 4{\cos ^2}x - 3 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\cos ^2}x = \frac{1}{2}\\
{\cos ^2}x = - \frac{3}{2}\left[ {VN} \right]
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow {\cos ^2}x = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 2x}}{2} = \frac{1}{2}\\
\Leftrightarrow 1 + \cos 2x = 1\\
\Leftrightarrow \cos 2x = 0\\
\Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \\
\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + \frac{{k\pi }}{2}
\end{array}\]
Vậy \[x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2}\].