- LG a
- LG b
Cho hai điểm \[P, Q\] nằm ngoài đường tròn \[[I]\] cố định với \[IP \ne IQ\].
LG a
Vẽ đường tròn \[[C]\] bất kì đi qua \[P, Q\]. Chứng minh rằng trục đẳng phương của \[[C]\] và \[[I]\] đi qua một điểm cố định.
Lời giải chi tiết:
[h.45].
Gọi \[[C_1]\]là đường tròn cố định có tâm \[O\] và đi qua \[P, Q.\] Do \[I\] không thuộc đường trung trực của \[PQ\] nên trục đẳng phương \[\Delta \] của \[[C_1]\] và \[[I]\] không song song với \[PQ\], chúng phải cắt nhau ở \[J\].
Bây giờ giả sử \[[C]\] là đường tròn bất kì đi qua \[P\] và \[Q\], ta có \[J\] thuộc trục đẳng phương \[PQ\] của \[[C]\] và \[[C_1]\] nên \[{P_{J/[C]}} = {P_{J/[{C_1}]}}\].
Lại có \[J\] thuộc trục đẳng phương của \[[C_1]\] và \[[I]\] nên \[{P_{J/[{C_1}]}} = {P_{J/[I]}}\].
Từ đó ta có \[{P_{J/[C]}} = {P_{J/[I]}}\], hay \[J\] thuộc trục đẳng phương của \[[C]\] và \[[I].\]
LG b
Hãy nêu cách vẽ đường tròn đi qua \[P, Q\] và tiếp xúc với đường tròn \[[I]\].
Lời giải chi tiết:
[h.46].
Kẻ tiếp tuyến \[JM\] với \[[I]\] [\[M\] là tiếp điểm], ta có \[J{M^2} = {P_{J/[I]}}.\]
Do \[{P_{J/[I]}} = \overrightarrow {JP} .\overrightarrow {JQ} \] nên đường tròn \[[MPQ]\] tiếp xúc với \[JM\] ở \[M\] và cũng tiếp xúc với \[[I]\] ở \[M\]. Từ đó suy ra cách dựng. Bài toán có hai nghiệm.