Đề bài
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ OG theo ba vectơ \[\overrightarrow {OA};\,\overrightarrow {OB} ;\,\overrightarrow {OC} \].Từ đó hãy tính tọa độ điểm G theo tọa độ của A, B và C.
Video hướng dẫn giải
Lời giải chi tiết
Ta có:
Với G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm O ta có:
\[\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \] [phần 3b trang 15 SGK Hình học 10]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right]\\ \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \end{array}\]
Mà
\[\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = \left[ {{x_A};{y_A}} \right],\overrightarrow {OB} = \left[ {{x_B};{y_B}} \right],\\\overrightarrow {OC} = \left[ {{x_C};{y_C}} \right]\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{3}\overrightarrow {OA} = \left[ {\frac{{{x_A}}}{3};\frac{{{y_A}}}{3}} \right]\\\frac{1}{3}\overrightarrow {OB} = \left[ {\frac{{{x_B}}}{3};\frac{{{y_B}}}{3}} \right]\\\frac{1}{3}\overrightarrow {OC} = \left[ {\frac{{{x_C}}}{3};\frac{{{y_C}}}{3}} \right]\end{array} \right.\\ \Rightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{3}\overrightarrow {OA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {OC} \\ = \left[ {\frac{{{x_A}}}{3} + \frac{{{x_B}}}{3} + \frac{{{x_C}}}{3};\frac{{{y_A}}}{3} + \frac{{{y_B}}}{3} + \frac{{{y_C}}}{3}} \right]\\ = \left[ {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right]\end{array}\]
Vậy \[G\left[ {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}} \right]\]