Câu 41 có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại
|
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = – {x^4} + 6{x^2} + mx\) có ba điểm cực trị?
A. \(17\) . B. \(15\) . C. \(3\) . D. \(7\) . Lời giải: Chọn B Ta có: \(y’ = – 4{x^3} + 12x + m\) . Xét phương trình \(y’ = 0 \Leftrightarrow – 4{x^3} + 12x + m = 0\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) . Để hàm số có ba điểm cực trị thì phương trình \(\left( 1 \right)\) phải có 3 nghiệm phân biệt. Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m = 4{x^3} – 12x\) . Xét hàm số \(g\left( x \right) = 4{x^3} – 12x\) có \(g’\left( x \right) = 12{x^2} – 12\) . Cho \(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 12{x^2} – 12 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\) . Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình \(\left( 1 \right)\) có 3 nghiệm phân biệt khi \( – 8 < m < 8\) . Để hàm số $y = x^4 - 2mx^3 + (m+2)x^2 - 3$ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại, ta cần xác định điều kiện để hàm số này có đạo hàm bậc nhất luôn dương. Theo công thức đạo hàm cho hàm bậc 4, ta có: y'=4x3-6mx2+2(m+2)xy' = 4x^3 -6mx^2 + 2(m+2)x Để hàm số này không có điểm cực đại, ta cần tìm nghiệm của phương trình: y'=0⇔2x(2x-3m)+(m+2)x=0⇔x(2x-3m+m+2)=0y' = 0 \Leftrightarrow 2x(2x - 3m) + (m+2)x = 0 \Leftrightarrow x(2x - 3m + m + 2) = 0 ⇔x(2x-m+2)=0\Leftrightarrow x(2x - m + 2) = 0 Phương trình có hai nghiệm $x_1 = 0$ và $x_2 = \frac{m-2}{2}$. Ta phân tích các trường hợp: 1. $x_1 = 0$: Khi đó $y(0) = -3$. Để có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại, hàm số $y$ cần có giá trị cực tiểu tại một giá trị $x_0$ nào đó, với $x_0 \neq 0$. Khi đó, điểm $(0, -3)$ là điểm cực tiểu toàn cục (vì $y$ là hàm số chẵn). 2. $x_2 = \frac{m-2}{2}$: Khi đó, để có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại, ta cần điều kiện $y(\frac{m-2}{2}) < -3$ và $y'(x_2) > 0$. Thay $x_2$ vào $y$, ta có: y(x2)=(m-22)4-2m(m-22)3+(m+2)(m-22)2-3y(x_2) = (\frac{m-2}{2})^4 - 2m(\frac{m-2}{2})^3 + (m+2)(\frac{m-2}{2})^2 - 3 =(m-2)2(m2-6m+20)16-3= \frac{(m-2)^2(m^2 - 6m + 20)}{16} - 3 Để $y(x_2) < -3$, ta cần: (m-2)2(m2-6m+20)<-48(m-2)^2(m^2 - 6m + 20) < -48 Từ đó xuất phát 2 phương trình: - $(m-2)^2(m^2 - 6m + 20) + 48 < 0$ - $(m-2)^2(m^2 - 6m + 20) = 0$ Phương trình thứ nhất là phương trình bậc tư, có thể giải bằng cách tìm nghiệm của 1 + 4 bất phương trình bậc hai. Ta sẽ không đi sâu vào giải quyết bất phương trình này. Còn phương trình thứ hai có tập nghiệm là $\{2, 2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}, 3\}$. Vậy, có $\boxed{4}$ giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y$ có điểm cực tiểu mà không có điểm cực đại. Với m = -1, ta có: fx=3x2+x−1 là một parabol với hệ số a = 3 > 0 suy ra hàm số chỉ có 1 điểm cực tiểu thỏa yêu cầu đề bài. Với m≠−1 , ta có: fx=m+1x3−2m−1x2+x−1 Suy ra f'x=3m+1x2−22m−1x+1. Khi đó, hàm số không có điểm cực đại <=> hàm số không có cực trị <=> phương trình f'(x) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔Δ'≤0 Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên khoảng (a; x0) và (x0; b). Khi đó mệnh đề nào sau đây không đúng: Cho hàm số Hàm số Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để điểm Hàm số nào sau đây không có cực trị? Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị thực của tham số Tìm tất cả các giá trị của Cho hàm sốy=2x3−3x2+5x−4. Chọn phương án sai: Tìm các giá trị của tham số Đồ thị của hàm số y=x3−3x2−9x+1 có hai điểm cực trị A và B . Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB . Cho hàm số Câu 1: Cho hàm sốy=m+1x4−m−1x2+1. Số các giá trị nguyên của m để hàm số có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu là: Cho hàm số f(x) có Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị thực của tham số Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số Cho hàm số y=fx có đạo hàm là f′x=xx+12x−1 . Hàm số y=fx có bao nhiêu điểm cực trị? Hoành độ điểm cực đại của đồ thị hàm số
Cho hàm số Cho hàm số Giá trị cực tiểu Tìm tất cả các giá trị thực của tham số Hàm số Cho hàm số Cho hàm số Cho hàm số Hàm số Cho hàm số Hàm số Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số Xác định các hệ số a, b, c để đồ thị hàm số Gọi A, B, C là 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số Cho hàm số Giá trị cực tiểu của hàm số Một số câu hỏi khác có thể bạn quan tâm.
|
