Cho hệ phương trình x+2y=2 và mx - y = m

cho hệ phương trình:

x+2y=2

mx-y=m(m là tham số)

a) giải và biện luận hệ phương trìnhđã cho theo m

b) Trong trg hợp hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất.(x,y).Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Cho hệ phương trình x+2y=2 mx-y=m (m là tham số) a, Giải hpt khi m=2 b, Tìm m để hệ phương trình nhận cặp (x;y)=(2;-1) làm nghiệm c, Giải và biện luận hệ phương trình theo m d,Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y): i, Chứng minh x+2y-2=0 với mọi m ii, Tìm giá trị của m để (x;y) âm iii, Tìm giá trị của m để x.y>0

iv, Tìm giá trị của m để biểu thức P=2y-x^2 đạt giá trị lớn nhất

Đáp án A

Ta có x+2y=2mx−y=m

⇔x=2−2ym2−2y−y=m⇔x=2−2y2m+1y=m

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m≠−12

Suy ra y=m2m+1⇒x=2−2.m2m+1⇒x=2m+22m+1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2m+22m+1y=m2m+1

Để x>1y>0

⇔2m+22m+1>1m2m+1>0⇔12m+1>0m2m+1>0⇔2m+1>0m>0⇔m>−12m>0⇒m>0

Kết hợp điều kiện m ≠−12 ta có m > 0

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Số câu hỏi: 28

Đáp án A

Ta có x+2y=2mx−y=m

⇔x=2−2ym2−2y−y=m⇔x=2−2y2m+1y=m

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m≠−12

Suy ra y=m2m+1⇒x=2−2.m2m+1⇒x=2m+22m+1

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2m+22m+1y=m2m+1

Để x>1y>0

⇔2m+22m+1>1m2m+1>0⇔12m+1>0m2m+1>0⇔2m+1>0m>0⇔m>−12m>0⇒m>0

Kết hợp điều kiện m ≠−12 ta có m > 0

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Cho hệ phương trình (( x + 2y = 2 mx - y = m right.. ) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất (( (x;y) ) ), tìm điều kiện của m để (x > 1 ) và (y > 0. )

Câu 8150 Vận dụng

Cho hệ phương trình\(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\mx - y = m\end{array} \right..\) Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\), tìm điều kiện của m để \(x > 1\) và \(y > 0.\)

Đáp án đúng: a

Phương pháp giải

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm $\left( {x,y} \right)$ theo tham số $m$

Bước 2: Thay $x,y$ vừa tìm được vào hệ thức yêu cầu để tìm $m$

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn chứa tham số --- Xem chi tiết

...

Giải thích các bước giải:

Ta có hệ phương trình:    \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\mx - y = m\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)

\end{array} \right.\)

a,

Thay \(m = 2\) vào hệ phương trình đã cho ta được: 

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\2x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\2x - y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\2.\left( {2 - 2y} \right) - y = 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\4 - 5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\5y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\y = \dfrac{2}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{5}\\y = \dfrac{2}{5}\end{array} \right.

\end{array}\)

Vậy \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{6}{5};\dfrac{2}{5}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho khi \(m = 2\).

b,

Hệ phương trình nhận cặp \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 1} \right)\) là nghiệm nên ta thay \(x = 2;\,\,y =  - 1\) vào hệ phương trình đã cho ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 + 2.\left( { - 1} \right) = 2\\m.2 - \left( { - 1} \right) = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = 2\\m =  - 1

\end{array} \right.\)

Hệ phương trình trên vô nghiệm nên không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn cặp \(\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 1} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

c,

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\mx - y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\m.\left( {2 - 2y} \right) - y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\2m - 2my - y = m\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\2m - \left( {2m + 1} \right)y = m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\\left( {2m + 1} \right)y = m\end{array} \right.\,\,\,\,\left( * \right)

\end{array}\)

Với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2}\) thì hệ phương trình (*) trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\0y =  - \dfrac{1}{2}

\end{array} \right.\)

Hệ phương trình trên vô nghiệm hay với \(m = \dfrac{{ - 1}}{2}\) thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Với \(m \ne  - \dfrac{1}{2}\) thì hệ phương trình (*) trở thành:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2y\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2.\dfrac{m}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2.\left( {2m + 1} \right) - 2m}}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}\\y = \dfrac{m}{{2m + 1}}

\end{array} \right.\)

Do đó, với \(m \ne  - \dfrac{1}{2}\) thì hệ phương trình đã cho có cặp nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}};\,\,\dfrac{m}{{2m + 1}}} \right)\)

d,

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thì \(m \ne  - \dfrac{1}{2}\)

i,

Theo phương trình (1) thì: \(x + 2y = 2 \Leftrightarrow x + 2y - 2 = 0\,\,\,\,\,\forall m\)

ii,

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}} < 0\\\dfrac{m}{{2m + 1}} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {2m + 2} \right)\left( {2m + 1} \right) < 0\\m\left( {2m + 1} \right) < 0\\m \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m <  - \dfrac{1}{2}\\ - \dfrac{1}{2} < m < 0\\m \ne  - \dfrac{1}{2}

\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {vn} \right)\)

Suy ra không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn \(x;y < 0\)

iii,

Ta có:

\(\begin{array}{l}x.y > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}}.\dfrac{m}{{2m + 1}} > 0 \Leftrightarrow \dfrac{{m\left( {2m + 2} \right)}}{{{{\left( {2m + 1} \right)}^2}}} > 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m\left( {2m + 2} \right) > 0\\m \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 1\end{array} \right.\\m \ne  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 0\\m <  - 1\end{array} \right.

\end{array}\)

Vậy \(m > 0\) hoặc \(m <  - 1\)  thì \(xy > 0\)

iv,

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2y = 2 - x\\P = 2y - {x^2} = \left( {2 - x} \right) - {x^2} =  - {x^2} - x + 2 =  - \left( {{x^2} + x + \dfrac{1}{4}} \right) + \dfrac{9}{4}\\ =  - {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{9}{4} = \dfrac{9}{4} - {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{9}{4},\,\,\,\forall x\\ \Rightarrow {P_{\max }} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{2m + 2}}{{2m + 1}} =  - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m =  - \dfrac{5}{6}

\end{array}\)