Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết rằng \[\dfrac{{AB} }{{AC}} = \dfrac{5}{6}\], đường cao \[AH = 30cm\]. Tính \[HB, HC\].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A\], đường cao \[AH\].
Khi đó ta có các hệ thức sau:
+] \[A{B^2} = BH.BC\]
+] \[A{C^2} = CH.BC\]
+] \[AH^2=HB.HC;AB.AC=AH.BC\]
+] \[AB^2+AC^2=BC^2\] [định lý Pytago].
Lời giải chi tiết
Xét hai tam giác vuông \[AHB\] và \[CHA,\] ta có:
\[\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = {90^0}\]
\[\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\] [hai góc cùng phụ \[\widehat {ACB}\]]
Vậy \[ AHB \backsim CHA\] [g.g]
Suy ra: \[\dfrac{{AH}}{{HC}} = \dfrac{{AB}}{{CA}}.\] [1]
Theo đề bài: \[\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{6}\]và \[AH = 30[cm]\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra: \[\dfrac{{30}}{{HC}} = \dfrac{5 }{6} \Rightarrow HC = \dfrac{{30.6}}{5} = 36[cm]\]
Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:
\[A{H^2} = HB.HC \]\[\Rightarrow HB = \dfrac{{A{H^2}}}{{HC}} = \dfrac{{{{30}^2}}}{{36}} = 25[cm]\]