Đề bài
Cho tam giác cân \[ABC\; [AB = AC]\], đường phân giác góc \[B\] cắt \[AC\] tại \[D\] và cho biết \[AB = 15cm, BC = 10cm\] [h29].
a] Tính \[AD, DC.\]
b] Đường vuông góc với \[BD\] tại \[B\] cắt đường thẳng \[AC\] kéo dài tại \[E\]. Tính \[EC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Tính chất đường phân giác:Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy.
- Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc.
- Tính chất: \[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\]
Lời giải chi tiết
a] Vì \[BD\] là đường phân giác của \[\widehat {ABC}\] nên ta có:
\[\displaystyle {{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\] [tính chất đường phân giác của tam giác]
Áp dụng tính chất mở rộng của tỉ lệ thức ta có:
\[\displaystyle{{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\]
\[\Rightarrow \displaystyle{{AD} \over {AD + DC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\]
\[\Rightarrow\displaystyle {{AD} \over {AC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\]
Mà \[ ABC\] cân tại \[A\] nên \[AC = AB = 15\; [cm]\].
\[\Rightarrow\displaystyle{{AD} \over {15}} = {{15} \over {15 + 10}} \]
\[\Rightarrow\displaystyleAD = {{15.15} \over {25}} = 9\; [cm]\]
Vậy \[DC = AC - AD = 15 - 9 = 6 \;[cm]\].
b] Vì \[BE BD\] nên \[BE\] là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh \[B\] [tính chất hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc]
\[\Rightarrow\displaystyle {{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {BA}}\] [tính chất đường phân giác ]
\[\Rightarrow\displaystyle{{EC} \over {EC + AC}} = {{BC} \over {BA}} \]
\[\Rightarrow EC.BA = BC\left[ {EC + AC} \right]\]
\[\RightarrowEC.BA - EC.BC = BC.AC\]
\[ \Rightarrow EC\left[ {BA - BC} \right] = BC.AC \]
\[\Rightarrow\displaystyle EC = {{BC.AC} \over {BA - BC}} = {{10.15} \over {15 - 10}} = 30\]\[\;[cm].\]