Đề bài
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn [C] : \[{x^2} + {y^2} - 6x - 6y + 14 = 0\] . Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến của [C] mà góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng \[{60^ \circ }\] .
Lời giải chi tiết
Đường tròn [C] có tâm I[3 ; 3] và có bán kính
\[R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = \sqrt {9 + 9 - 14} = 2\]
Điểm \[M[x;0]\] thuộc Ox.
Từ M kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với [C] tại A và B. Ta có:
\[\widehat {AMB} = {60^ \circ } \Rightarrow \widehat {IMB} = {30^ \circ }\]
\[ \Rightarrow IM = \frac{R}{{\sin {{30}^ \circ }}} = 2R = 4\].
\[IM = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left[ {x - 3} \right]}^2} + 9} = 4\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 2 = 0\]
\[ \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt 7 \] .
Vậy có hai điểm M thỏa mãn đề bài, chúng có tọa độ là :
\[{M_1}\left[ {3 + \sqrt 7 ;0} \right]\] và \[{M_2}\left[ {3 - \sqrt 7 ;0} \right]\].