Đề bài
Cho điểm P nằm ngoài đường tròn [O; R] và \[OP = 2R.\] Một đường thẳng qua P cắt [O] tại A và B [ A nằm giữa B và P] và \[AB = R.\] Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PB.
a. Tính OH, AP theo R.
b. Kẻ một đường thẳng khác qua P cắt [O] tại C và D [CD ở khác phía với AB so với OP], kẻ \[OK CD.\]
So sánh AB và CD biết \[OK < {{R\sqrt 3 } \over 2}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì qua trung điểm của dây ấy.
- Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông
- Trong hai dây của một đường tròn:
+] Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
+] Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
Lời giải chi tiết
a. Ta có: \[OH AB\] [gt]
\[ \Rightarrow HA = HB = {{AB} \over 2} = {R \over 2}\]
[định lí đường kính dây cung]
Xét tam giác vuông AHO, ta có:
\[OH = \sqrt {A{O^2} - A{H^2}} \]\[\;= \sqrt {{R^2} - {{\left[ {{R \over 2}} \right]}^2}} = {{R\sqrt 3 } \over 2}\]
PHO vuông tại H, ta có:
\[\eqalign{ & PH = \sqrt {P{O^2} - O{H^2}} \cr& = \sqrt {{{\left[ {2R} \right]}^2} - {{\left[ {{{R\sqrt 3 } \over 2}} \right]}^2}} = {{R\sqrt {13} } \over 2} \cr & \Rightarrow PA = PH - AH \cr&= {{R\sqrt {13} } \over 2} - {R \over 2} = {{R\left[ {\sqrt {13} - 1} \right]} \over 2} \cr} \]
b. \[OK < {{R\sqrt 3 } \over 2}\] hay \[OK < OH = {{R\sqrt 3 } \over 2}\,\left[ {cmt} \right]\]
\[\Rightarrow AB < CD\]