Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình năm 2024

Lời giải Ví dụ 2.27 (a) Theo định lý hàm số sin, ta có S AMB = a 2 sin ϕ, ở đây ϕ là góc giữa trục Ox và OM. Từ giả thiết ta có ϕ là biến ngẫu nhiên liên tục có phân phối đều U [ 0, π ] có hàm mật độ xác suất

Biến ngẫu nhiên Y = a 2 sin ϕ, nên Y là biến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị trong đoạn [0, a 2 ]. Hàm phân phối xác suất của Y là

vì với x ∈ ( 0, a 2 ] ,

(b) Hàm mật độ xác suất của X

Suy ra kỳ vọng của X là

2.4.2 Phân phối nhị thức

2.4.2a Phân phối Béc–nu–li Định nghĩa 2.15 (Phân phối Béc–nu–li). Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là tuân theo luật phân phối Béc–nu–li (Bernoulli distribution) với tham số p, ký hiệu là X ∼ B( 1, p ) , nếu X nhận hai giá trị 0, 1 với xác suất tương ứng

ở đây 0 < p < 1, q = 1 − p. Định lý 2.12. Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân phối Béc-nu-li B( 1; p ) thì

Chứng minh. Theo định nghĩa kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên rời rạc,

Nhận xét 2.10. Xét phép thử Béc–nu–li với sự thành công của phép thử là sự xuất hiện của sự kiện A và giả sử xác suất xuất hiện A trong mỗi lần thử là p. Gọi X là số lần thành công trong một lần thử thì X là biến ngẫu nhiên rời rạc có phân bố Béc-nu-li tham số p. Biến ngẫu nhiên X còn được gọi là tuân theo phân phối không – một A( p ) .

2.4.2b Phân phối nhị thức Định nghĩa 2.16 (Phân phối nhị thức). Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là tuân theo luật phân phối nhị thức (binomial distribution) với tham số n và p, ký hiệu là X ∼ B( n, p ) , nếu X có bảng phân phối xác suất

ở đây q = 1 − p và P ( X = k ) = Cnk p k q n − k được tính bằng công thức Béc–nu–li (1.19). Phân phối nhị thức xuất phát từ tên thực tế của khai triển nhị thức ( p + q ) n có n + 1 số hạng:

Nhận xét 2.11. 1. Thực hiện n phép thử Béc–nu–li với xác suất thành công của sự kiện A trong mỗi lần thử là p. Với mỗi i = 1, 2, . . . , n, nếu ở lần thử thứ i sự kiện A xuất hiện ta cho X i nhận giá trị 1, nếu sự kiện A không xuất hiện ta cho X i nhận giá trị 0. Như vậy X i ∼ B( 1, p ) . Gọi X là số lần thành công trong n phép thử Béc–nu–li này thì

2. Nếu X ∼ B( n 1 , p ) và Y ∼ B( n 2 , p ) và nếu X, Y độc lập thì X + Y ∼ B( n 1 + n 2 , p ) (xem Chương 3). Định lý 2.13. Kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức là

Chứng minh. Từ Nhận xét 2.11(1), biến ngẫu nhiên X xác định bởi (2.33) có phân phối nhị thức B( n; p ) . Theo Hệ quả 3.1, 3.3 (Chương 3) và Định lý 2.12,

và

Ví dụ 2.28. Tỷ lệ phế phẩm của lô hàng là 4%. Chọn ngẫu nhiên 20 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm phát hiện được. (a) X có phân phối gì? (b) Tính xác suất có đúng 5 phế phẩm phát hiện được. (c) Lô hàng được xem là đạt tiêu chuẩn nếu số phế phẩm phát hiện được không nhiều hơn 2. Tính xác suất để lô hàng đạt tiêu chuẩn.

(a) Số phế phẩm phát hiện được là số lần thành công trong 20 phép thử này. Vậy X có phân phối nhị thức X ∼ B( n, p ) , với n = 20, p = 0, 04. (b)

(c) Xác suất để lô hàng đạt tiêu chuẩn là

2.4.3 Phân phối Poa–xông Các phép thử mang lại các giá trị số cho biến ngẫu nhiên X, chỉ số các kết quả xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định nào đó, được gọi là phép thử Poa-xông. Khoảng thời gian nhất định có thể là một phút, một ngày, thậm trí một năm. Chẳng hạn phép thử đếm số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong vòng 5 phút là một phép thử Poa-xông. Một phép thử Poa-xông có nguồn gốc từ quá trình Poa-xông và có các tính chất sau. 1. Số lượng kết quả xảy ra trong một khoảng thời gian không phụ thuộc vào số lượng kết quả xảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào khác. Do đó, quá trình Poa-xông có tính chất không nhớ. 2. Xác suất xảy ra một kết quả trong một khoảng thời gian ngắn tỷ lệ thuận với độ dài của khoảng thời gian và không phụ thuộc vào số lượng kết quả xảy ra bên ngoài khoảng thời gian này. 3. Xác suất có nhiều hơn một kết quả sẽ xảy ra trong một khoảng thời gian ngắn là không đáng kể. Định nghĩa 2.17 (Phân phối Poa–xông). Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là tuân theo luật phân phối Poa-xông (Poisson distribution) với tham số λ, ký hiệu là X ∼ P ( λ ) , nếu X có bảng phân phối xác suất

trong đó

được tính bằng công thức Poa-xông, λ là số kết quả trung bình trên mỗi đơn vị thời gian và e = 2, 71828 . . .

Định lý 2.14. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có phân phối Poa-xông tham số λ. Khi đó,

Chứng minh. Ta sẽ chứng minh hai tính chất đầu của định lý. 1. Suy trực tiếp từ Định nghĩa (2.4) và Định nghĩa 2.17. 2. Sử dụng Định nghĩa 2.8

Nhận xét 2.12. 1. Phân phối Poa–xông được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực thực tế như kiểm tra chất lượng sản phẩm, lý thuyết sắp hàng, các hệ phục vụ đám đông, các bài toán chuyển mạch trong tổng đài . . . 2. Nếu X 1 , X 2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poa–xông tham số lần lượt λ 1 , λ 2 , thì X 1 + X 2 cũng có phân phối Poa–xông tham số λ 1 + λ 2 (xem Chương 3). 3. Trong thực tế với một số giả thiết thích hợp thì các biến ngẫu nhiên là các quá trình đếm sau: số cuộc gọi đến một tổng đài; số khách hàng đến một điểm phục vụ; số xe cộ qua một ngã tư; số tai nạn (xe cộ); số các sự cố xảy ra ở một địa điểm . . . trong một khoảng thời gian xác định nào đó sẽ có phân phối Poa–xông với tham số λ, trong đó λ là tốc độ trung bình diễn ra trong khoảng thời gian này.

Ví dụ 2.29. Ở một tổng đài bưu điện, các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc lập với nhau với tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong một phút. Tìm xác suất để

(a) Có đúng 5 cuộc điện thoại trong vòng 2 phút;

(b) Không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây;

(c) Có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây. Lời giải Ví dụ 2.29 (a) Gọi X là số cuộc điện thoại xuất hiện trong vòng 2 phút. X ∼ P ( λ ) , λ chính là số cuộc điện thoại trung bình đến trong vòng 2 phút, λ = 4.

(b) Gọi X là số cuộc điện thoại xuất hiện trong vòng 30 giây. X ∼ P ( λ ) với λ = 1.

(c) Gọi X là số cuộc điện thoại xuất hiện trong vòng 10 giây. X ∼ P ( λ ) với λ = 1 / 3 .

Ví dụ 2.30. Một ga ra cho thuê ô tô thấy rằng số người đến thuê ô tô vào thứ bảy cuối tuần là một biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối Poa-xông với tham số λ = 2. Giả sử gara có 4 chiếc ô tô.

(a) Tìm xác suất để tất cả 4 ô tô đều được thuê vào thứ 7.

(b) Tìm xác suất gara không đáp ứng được yêu cầu (thiếu xe cho thuê) vào thứ 7.

(c) Trung bình có bao nhiêu ô tô được thuê vào ngày thứ 7? Lời giải Ví dụ 2.30 Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ "số người đến thuê ô tô vào thứ bảy".

Theo giả thiết X là biến ngẫu nhiên phân phối tuân theo quy luật Poa-xông P ( λ ) với λ = 2. Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ "số xe ô tô được thuê vào thứ bảy".

(a) Áp dụng phân phối Poa-xông

(b)

(c) Y có thể nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4, với

Bảng phân phối xác suất của Y là:

Vậy trung bình số ôtô được thuê trong ngày thứ bảy là E ( Y ) = 1, 9249, tức là khoảng 2 chiếc. Chú ý 2.3. Giá trị xác suất của phân phối Poa–xông được tính sẵn trong bảng Phụ lục 5.

2.4.4 Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối Poa-xông Trong Mục 1.5.5 ta đã đề cập đến việc tính xấp xỉ công thức Béc–nu–y (1.19) khi số phép thử n khá lớn bởi công thức (1.21). Ở đây ta xét mối liên hệ của hai phân phối tương ứng.

Định lý 2.15. Cho X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức B( n, p ) . Nếu n → ∞, p → 0 và np → λ (λ là một hằng số) thì B( n, p ) → P ( λ ) khi n → ∞.

Trong thực tế nếu n đủ lớn và λ = np đủ nhỏ (thỏa mãn np < 7) thì ta có thể xấp xỉ phân phối nhị thức B( n, p ) bằng phân phối Poa-xông P ( λ ) và

Ví dụ 2.31. Giả sử một công ty bảo hiểm nhân thọ bảo hiểm cho cuộc sống của 5000 người đàn ông ở độ tuổi 42. Nghiên cứu của các chuyên gia tính toán cho thấy xác suất để một người đàn ông 42 tuổi sẽ chết trong một năm (xác định) là 0,001. Hãy tìm xác suất mà công ty sẽ phải trả bảo hiểm cho 4 người trong một năm (xác định). Lời giải Ví dụ 2.31 Gọi X là số người chết trong một năm (xác định). X là biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức tham số n = 5000 và p = 0, 001. Khi đó,

Vì n = 5000 đủ lớn và λ = np = ( 5000 )( 0, 001 ) = 5 nên xác suất trên có thể được xấp xỉ bằng công thức Poa-xông: