Trình bày một phương pháp để tính định thức

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNHTài liệu ôn thi cao học năm 2005Phiên bản đã chỉnh sửaPGS. TS Mỵ Vinh QuangNgày 28 tháng 10 năm 2004Bài 2 : Các Phương Pháp Tính ĐịnhThức Cấp nĐịnh thức được định nghĩa khá phức tạp, do đó khi tính các định thức cấp cao (cấp lớnhơn 3) người ta hầu như không sử dụng định nghĩa định thức mà sử dụng các tính chất củađịnh thức và thường dùng các phương pháp sau.1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giácSử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng (cột) của ma trận và các tính chất của địnhthức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác. Định thức sau cùng sẽ bằng tích củacác phần tử thuộc đường chéo chính (theo tính chất 3.3).Ví dụ 1.1: Tính định thức cấp n (n  2) sau đây:D =1 2 2 . . . 22 2 2 . . . 22 2 3 . . . 2. . . . . . . . . . . . . . .2 2 2 . . . nBài giải: Nhân dòng (2) với (−1) rồi cộng vào dòng (3), (4), . . . , (n). Ta cóD =1 2 2 . . . 22 2 2 . . . 20 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . n − 2(1)=1 2 2 . . . 20 −2 −2 . . . −20 0 1 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . n − 2= (−2)(n − 2)!(1): nhân dòng (1) với (−2) cộng vào dòng (2).1Ví dụ 1.2: Tính định thức cấp nD =a b b . . . bb a b . . . bb b a . . . b. . . . . . . . . . . . . . .b b b . . . aBài giải: Đầu tiên công các cột (2), (3),. . . , (n) vào cột (1). Sau đó nhân dòng (1) với (−1)cộng vào các dòng (2), (3),. . . , (n). Ta có:D =a + (n − 1)b b b . . . ba + (n − 1)b a b . . . ba + (n − 1)b b a . . . b. . . . . . . . . . . . . . .a + (n − 1)b b b . . . a=a + (n − 1)b b b . . . b0 a − b 0 . . . 00 0 a − b . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . a − b=a + (n − 1)b(a − b)n−12 Phương pháp qui nạpÁp dụng các tính chất của định thức, biến đổi, khai triển định thức theo dòng hoặc theocột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đóta sẽ nhận được công thức truy hồi.Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1, cấp 2, . . . , đểsuy ra định thức cần tính.Ví dụ 2.1: Tính định thứcDn=1 + a1b1a1b2. . . a1bna2b11 + a2b2. . . a2bn. . . . . . . . . . . .anb1anb2. . . 1 + anbnBài giải: Sử dụng tính chất 2.4, tách định thức theo cột n, ta có:Dn=1 + a1b1. . . a1bn−10a2b1. . . a2bn−10. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−10anb1. . . anbn−11+1 + a1b1. . . a1bn−1a1bna2b1. . . a2bn−1a2bn. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−1an−1bnanb1. . . anbn−1anbn=1 + a1b1. . . a1bn−10a2b1. . . a2bn−10. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−10anb1. . . anbn−11+ bn1 + a1b1. . . a1bn−1a1a2b1. . . a2bn−1a2. . . . . . . . . . . .an−1b1. . . 1 + an−1bn−1an−1anb1. . . anbn−1anKhai triển định thức đầu theo cột (n) ta sẽ có định thức đầu bằng Dn−1.Nhân cột (n) của định thức thứ hai lần lượt với (−bi) rồi cộng vào cột i (i = 1, 2, . . . , n −1).2Ta được:Dn= Dn−1+ bn1 0 . . . 0 a10 1 . . . 0 a2. . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1 an−10 0 . . . 0 an= Dn−1+ anbnVậy ta có công thức truy hồi Dn= Dn−1+ anbn. Vì công thức trên đúng với mọi n nên ta cóDn= Dn−1+ anbn=Dn−2+ an−1bn−1+ anbn= · · · = D1+ a2b2+ a3b3+ · · · + anbnVì D1= a1b1+ 1 nên cuối cùng ta cóDn= 1 + a1b1+ a2b2+ a3b3+ · · · + anbnVí dụ 2.2: Cho a, b ∈ R, a = b. Tính định thức cấp nDn=a + b ab 0 . . . 0 01 a + b ab . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . a + b ab0 0 0 . . . 0 a + bBài giải: Khai triển định thức theo dòng đầu, ta được:Dn= (a + b)Dn−1− ab1 ab 0 . . . 0 00 a + b ab . . . 0 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 0 . . . a + b ab0 0 0 . . . 0 a + bTiếp tục khai triển định thức sau theo cột (1) ta có công thức:Dn= (a + b)Dn−1− abDn−2với n  3 (∗)Do đó:Dn− aDn−1= b(Dn−1− aDn−2)Công thức này đúng với mọi n  3 nên ta cóDn− aDn−1= b(Dn−1− aDn−2) = b2(Dn−2− aDn−3) = · · · = bn−2(D2− aD1)Tính toán trực tiếp ta có D2= a2+ b2+ ab và D1= a + b do đó D2− aD1= b2. Bởi vậyDn− aDn−1= bn(1)Tiếp tục, từ công thức (∗) ta lại có Dn− bDn−1= a(Dn−1− bDn−2). Do công thức này đúngvới mọi n  3 nên tương tự như trên ta lại cóDn− bDn−1= a(Dn−1− bDn−2) = a2(Dn−3− bDn−4)= · · · = an−2(D2− bD1) = anvì D2− bD1= a2Vậy ta cóDn− bDn−1= an(2)Khử Dn−1từ trong (1) và (2) ta sẽ được kết quảDn=an+1− bn+1a − b33 Phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các địnhthứcNhiều định thức cấp n có thể tính được dễ dàng bằng các tách định thức (theo các dònghoặc theo các cột) thành tổng của các định thức cùng cấp. Các định thức mới này thường bằng0 hoặc tính được dễ dàng.Ví dụ 3.1: Ta sẽ tính định thức Dntrong Ví dụ 2.1 bằng phương pháp này.Bài giải: Mỗi cột của Dnđược viết thành tổng của 2 cột mà ta ký hiệu là cột loại (1) và loại(2) như sau:Dn=1 + a1b10 + a1b2. . . 0 + a1bn0 + a2b11 + a2b2. . . 0 + a2bn. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .0 + anb10 + anb2. . . 1 + anbn(1) (2) (1) (2) (1) (2)Sử dụng tính chất 2.4 của định thức, ta lần lượt tách các cột của định thức. Sau n lần tách tacó Dnlà tổng của 2nđịnh thức cấp n. Cột thứ i của các định thức này chính là cột loại (1)hoặc loại (2) của cột thứ i của định thức ban đầu Dn. Ta chia 2nđịnh thức này thành ba dạngnhư sau:Dạng 1: Bao gồm các định thức có từ 2 cột loại (2) trở lên. Vì các cột loại (2) tỉ lệ nên tấtcả các định thức loại này có giá trị bằng 0.Dạng 2: Bao gồm các định thức có đúng một cột loại (2), còn các cột khác là loại (1). Giảsử cột i là loại (2) ta có định thức đó làDn,i=1 0 . . . a1bi. . . 00 1 . . . a2bi. . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . .0 0 . . . anbi. . . 1= aibi↑cột i(khai triển theo cột i). Có tất cả n định thức dạng 2 (ứng với i = 1, 2, . . . , n) và tổng của tấtcả các định thức dạng 2 làni=1aibiDạng 3: Bao gồm các định thức không có cột loại (2), nên tất cả các cột đều là loại (1) vàdo đó có đúng một định thức dạng 3 là1 0 . . . 00 1 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 1= 1Vậy Dnbằng tổng của tất cả các định thức ba dạng trên và bằngni=1aibi+ 14Nhận xét: Tất cả các định thức mà các cột (dòng) có thể biểu diển dưới dạng tổng 2 cột (2dòng) trong đó các cột loại (2) (dòng loại (2)) tỉ lệ với nhau đều có thể tính được dễ dàng bằngphương pháp 3 với cách trình bày giống hệt như trên.4 Phương pháp biểu diển định thức thành tích các địnhthứcGiả sử ta cần tính định thức D cấp n. Ta biểu diễn ma trận tương ứng A của D thành tíchcác ma trận vuông cấp n đơn giản hơn: A = B.C. Khi đó ta cóD = det A = det(B.C) = det B. det Cvới các định thức det B, det C tính được dễ dàng nên D tính được.Ví dụ 4.1: Tính định thức cấp n (n  2) sauD =1 + x1y11 + x1y2. . . 1 + x1yn1 + x2y11 + x2y2. . . 1 + x2yn. . . . . . . . . . . .1 + xny11 + xny2. . . 1 + xnynBài giải: Với n  2 ta có:A =1 + x1y11 + x1y2. . . 1 + x1yn1 + x2y11 + x2y2. . . 1 + x2yn. . . . . . . . . . . .1 + xny11 + xny2. . . 1 + xnyn=1 x10 . . . 01 x20 . . . 01 x30 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . .1 xn0 . . . 0  B1 1 . . . 1y1y2. . . yn0 0 . . . 0. . . . . . . . . . . .0 0 . . . 0  CBởi vậy:D = det A = det B. det C =0 nếu n > 2(x2− x1)(y2− y1) nếu n = 2Ví dụ 4.2: Tính định thức cấp n (n  2)D =sin 2α1sin(α1+ α2) . . . sin(α1+ αn)sin(α2+ α1) sin 2α2) . . . sin(α2+ αn). . . . . . . . . . . .sin(αn+ α1) sin(αn+ α2) . . . sin 2αn5

Định thức, trong đại số tuyến tính, là một hàm cho mỗi ma trận vuông A, tương ứng với số vô hướng, ký hiệu là det(A). Ý nghĩa hình học của định thức là tỷ lệ xích cho thể tích khi A được coi là một biến đổi tuyến tính. Định thức được sử dụng để giải (và biện luận) các hệ phương trình đại số tuyến tính.

Định thức và hệ phương trình đại số tuyến tính

Khái niệm định thức xuất hiện đầu tiên gắn với việc giải hệ phương trình đại số tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn. Hệ này có một nghiệm duy nhất khi và chỉ khi định thức của ma trận tương ứng với hệ phương trình này khác 0.

Ví dụ hệ hai phương trình tuyến tính hai ẩn:

có các hệ số của các ẩn tạo thành ma trận vuông:

định thức của nó là:

det(A)=ad-bc .

Nếu det(A) khác 0, hệ có nghiệm duy nhất

.

Nếu det(A) = 0 hệ có thể có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

Nếu e = f = 0, hệ trên là một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất, nó luôn có ít nhất một nghiệm tầm thường là x = 0 và y = 0. Khi đó hệ có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi định thức của hệ bằng không.

Định thức của ma trận vuông cấp n

Cho ma trận vuông cấp n:

 Định nghĩa định thức

Định nghĩa của định thức trong đại số tuyến tính liên quan đến khái niệm dấu của hoán vị.

Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. Gọi Sn là nhóm các hoán vị của n phần tử 1,2,...,n ta có:(Công thức Leibniz)

Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có:

=a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32

Các ứng dụng

Các định thức đựoc dùng để kiểm tra các ma trận có ma trận nghịch đảo không (các ma trận khả nghịch và chỉ chúng là các ma trận có định thức khác 0) và để biểu diễn nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính qua định lý Cramer. chúng được dùng để tìm các vector riêng của ma trận A qua đa thức đặc trưng

Trong đó, I là ma trận đơn vị (identity matrix) có cùng kích thước với A.

Người ta còn xem định thức như là hàm xác định trên lên các bộ n vector trong không gian

, toạ độ của n véc tơ này tạo thành n cột (hoặc n dòng) của một ma trận vuông. Khi đó, dấu của định thức của một cơ sở có thể được dùng để định nghĩa khái niệm hướng của các cơ sở trong không gian Euclide. Nếu định thức của một cơ sở là dương thì ta nói các vector này tạo thành một cơ sở thuận chiều, và nếu định thức của chúng là âm thì nó tạo thành cơ sở ngược chiều.

Các định thức còn được dùng để tính thể tích trong giải tích vector: Giá trị tuyệt đối của định thức của các vector trên trường số thực thì bằng với thể tích của hình hộp tạo ra bởi các vectors đó. Như là một hệ quả, nếu một ánh xạ tuyến tính

được đặc trưng bởi ma trận A, và S là tập con đo được bất kì của , thì thể tích của f(S) được cho bởi .

Một cách tổng quát hơn, nếu ánh xạ tuyến tính

đặc trưng bởi một ma trận Am x n, và S là tập con bất kì đo được nào của , thì thể tích n-chiều của f(S) được tính bởi . Bằng cách tính thể tích của tứ diện có 4 đỉnh, chúng có thể được dùng để nhận diện (xác định) các đường ghềnh

Thể tích của tứ diện bất kì, cho bởi các đỉnh a, b, c, và d, là (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|.

Ví dụ

Tìm định thức của ma trận:

Cách 1: Sử dụng công thức Leibniz

Cách 2: Sử dụng công thức Laplace để khai triển định thức theo một hàng hoặc một cột. Cách tốt nhất là chọn hàng, hoặc cột nào có nhiều phần tử bằng 0, vì như vậy, giá trị định thức của phần tử đó sẽ bằng 0 (

) vì thế ta sẽ khai triển theo cột thứ 2.

Cách 3: Sử dụng phép khử Gauss, bằng việc áp dụng các tính chất của định thức, biến đổi các cột, hoặc hàng thành dạng đơn giản, như chứa phần tử bằng 0, sau đó tính định thức theo hàng, cột đó.

và định thức sẽ được tính nhanh khi khai triển theo cột đầu tiên:

Các tính chất và phép biến đổi trên các hàng và các cột của định thức

Các tính chất và phép biến đổi trên các hàng và các cột của định thức Cho ma trận A vuông cấp n: Định thức của A bằng không nếu một trong các điều kiện sau xảy ra: A có tất cả các phần tử trên một hàng (hoặc một cột) bằng 0 ; A có hai hàng (hoặc hai cột) tỷ lệ; Tổng quát: A có một hàng (hoặc một cột) là tổ hợp tuyến tính của các hàng (hoặc các cột) khác. Trên các hàng và các cột của A có thể thực hiện các phép biến đổi sau: Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) khác nhau thì định thức đổi dấu; Nếu nhân một hằng số a vào một hàng (hoặc một cột) của A thì định thức của ma trận cuối sẽ là a.det(A) ; Nếu nhân một số a ≠0 vào một hàng (hoặc một cột) của A, và cộng hàng (hoặc cột) này vào một hàng khác (hoặc một cột) thì giá trị của định thức sẽ không đổi . viet chang hieu gbi Chữ đậm Định thức và các phép toán trên ma trận

• 
  với mọi ma trận khả tích n-n A và B.

Từ đó và với mọi ma trận n-n A và mọi số r.

• Ma trận A trên một trường là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của A khác 0, trong trường hợp này ta có:

• Ma trận vuông A và ma trận chuyển vị AT của nó có định thức bằng nhau: