- LG a
- LG b
Chứng minh rằng:
LG a
\[{{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\,\,\,\,[a \in R]\]
Lời giải chi tiết:
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
\[{{{a^2} + 6} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = {{[{a^2} + 2] + 4} \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} = \sqrt {{a^2} + 2} + {4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }} \]
\[\ge 2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} .{4 \over {\sqrt {{a^2} + 2} }}} =2\sqrt 4= 4\]
Dấu "=" xảy ra khi\[\sqrt {{a^2} + 2} = \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} \] \[\Leftrightarrow {a^2} + 2 = 4 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt 2 \]
LG b
\[{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge {a \over c} + {c \over b} + {b \over a},\] \[[a,\,b,\,c\, \in R]\]
Lời giải chi tiết:
Áp dụng bđt Cô-si ta có:
\[{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} \ge 2\sqrt {{{{a^2}} \over {{b^2}}}.{{{b^2}} \over {{c^2}}}} = 2|{a \over c}|\, \ge {{2a} \over c}\]
Tương tự ta có:
\[\left\{ \matrix{
{{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}} \ge 2{b \over a} \hfill \cr
{{{c^2}} \over {{a^2}}} + {{{a^2}} \over {{b^2}}} \ge 2{c \over b} \hfill \cr} \right.\]
Từ đó suy ra: \[2[{{{a^2}} \over {{b^2}}} + {{{b^2}} \over {{c^2}}} + {{{c^2}} \over {{a^2}}}] \ge 2[{a \over c} + {c \over b} + {b \over a}]\]
=>ĐPCM.
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.