- LG a
- LG b
Giải và biện luận các phương trình [a và m là những tham số]
LG a
\[|2ax + 3| = 5\]
Phương pháp giải:
Phương trình
\[\left| {f\left[ x \right]} \right| = a\left[ {a > 0} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left[ x \right] = a\\
f\left[ x \right] = - a
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\[|2ax + 3| = 5\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax + 3 = 5 \hfill \cr
2ax + 3 = - 5 \hfill \cr} \right. \]\[\Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax = 2 \hfill \cr
2ax = - 8 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,[1]\]
Nếu \[a = 0\] thì phương trình vô nghiệm
Nếu \[a 0\] thì
\[[1] \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over a} \hfill \cr
x = - {4 \over a} \hfill \cr} \right.\]
Vậy \[S = {\rm{\{ }}{1 \over a};{{ - 4} \over a}{\rm{\} }}\]
LG b
\[{{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\]
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \[x ± 1\]
Ta có:
\[\eqalign{
& {{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\cr& \Rightarrow 2mx - {m^2} + m - 2 = {x^2} - 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\,\,[1] \cr} \]
Xét \[f[x]={x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1\]
Ta có:
\[f\left[ { - 1} \right] \]\[= {\left[ { - 1} \right]^2} - 2m.\left[ { - 1} \right] + {m^2} - m + 1\]
\[ = {m^2} + m + 2 \]\[= {\left[ {m + \frac{1}{2}} \right]^2} + \frac{7}{4} > 0,\forall m\]
Do đó \[\left[ 1 \right]\] luôn không nhận \[x = - 1\] làm nghiệm.
Lại có:
\[f\left[ 1 \right] = {1^2} - 2m.1 + {m^2} - m + 1\] \[ = {m^2} - 3m + 2\]
Do đó [1] không nhận \[x = 1\] làm nghiệm \[ \Leftrightarrow f\left[ 1 \right] \ne 0\]
\[ \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne 1\end{array} \right.\]
Xét\[\Delta = {\rm{ }}{m^2}-[{m^2}-m + 1] = m-1\]
+] Với \[m > 1\] và \[m\ne 2 \] thì [1] có hai nghiệm phân biệt \[{x_{1,2}} = m \pm \sqrt {m - 1} \] khác \[\pm 1\] nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt\[{x_{1,2}} = m \pm \sqrt {m - 1} \].
+] Với m = 2 thì [1] là:
\[{x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\left[ {loai} \right]\\
x = 3\left[ {TM} \right]
\end{array} \right.\]
+ Với m < 1, [1] vô nghiệm
+] Với m = 1 thì \[\left[ 1 \right] \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\left[ {loai} \right]\]
Vậy
+] m = 2; S = {3} [loại nghiệm x = 1]
+] m >1 và m 2; \[S = {\rm{\{ }}m \pm \sqrt {m - 1} {\rm{\} }}\]
+ m \[\le\] 1; S = Ø