Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y x 3 3x 2 m đồng biến trên khoảng 1;2

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$.
$y'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-2 \right)$
$y'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-2=0.$
Ta có: $\Delta '=2>0,\forall m$ nên $y'=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}.$
$\Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2m \\
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{m}^{2}}-2 \\
\end{aligned} \right..$
Hàm số đồng biến trên $\left( 12;+\infty \right)\Leftrightarrow {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 12$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left( {{x}_{1}}-12 \right)\left( {{x}_{2}}-12 \right)\ge 0 \\
& \dfrac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{2}<12 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{x}_{1}}.{{x}_{2}}-12\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+144\ge 0 \\
& {{x}_{1}}+{{x}_{2}}<24 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-2-12.2m+144\ge 0 \\
& 2m<24 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& {{m}^{2}}-24m+142\ge 0 \\
& m<12 \\
\end{aligned} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned}
& \left[ \begin{aligned}
& m\le 12-\sqrt{2} \\
& m\ge 12+\sqrt{2} \\
\end{aligned} \right. \\
& m<12 \\
\end{aligned} \right.\Leftrightarrow m\le 12-\sqrt{2}.$
Do $m\in {{\mathbb{Z}}^{+}}\Rightarrow m\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 \right\}.$