Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 15cm, BC = 39cm. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Vẽ đường tròn [D ; DA].
a] Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn đó
b] Tính bán kính của đường tròn đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Kẻ \[DE \bot BC\] chứng minh \[ DE = R.\]
b] Dùng định lí Py-ta-go tìm độ dài cạnh \[AC.\]
Áp dụng tính chất đường phân giác của một góc và tỉ lệ thức để tìm độ dài cạnh \[DA.\]
Lời giải chi tiết
a] Kẻ \[DE \bot BC.\]
Điểm D thuộc tia phân giác của góc \[\widehat {ABC}\] nên \[DE = DA.\]
Khoảng cách từ \[D\] đến \[BC\] bằng bán kính đường tròn \[\left[ {D;DA} \right]\] nên \[BC\] là tiếp tuyến của \[\left[ {D;DA} \right]\]
b] Tính \[AC:\] Áp dụng định lí Py-ta-go ta có
\[A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {39^2} - {15^2} = 1296\] nên \[AC = 36cm.\]
Tính \[DA:\] Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác \[ABC,\] ta có
\[\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} = \dfrac{{15}}{{39}} = \dfrac{5}{{13}}.\]
Do đó \[\dfrac{{DA}}{5} = \dfrac{{DC}}{{13}} = \dfrac{{DA + DC}}{{5 + 13}} = \dfrac{{AC}}{{18}} = 2.\]
Suy ra \[DA = 2.5 = 10\left[ {cm} \right].\]
Vậy bán kính của đường tròn \[\left[ D \right]\] bằng \[10cm.\]