Đề bài
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có đẳng thức sau :
\[1 + 2 + 3 + ... + n = {{n\left[ {n + 1} \right]} \over 2}\] [1]
Lời giải chi tiết
+] Với n = 1 ta có \[1 = {{1\left[ {1 + 1} \right]} \over 2}\] [đúng].
Vậy [1] đúng với n = 1
+] Giả sử [1] đúng với \[n = k\], tức là ta có:
\[1 + 2 + 3 + ... + k = {{k\left[ {k + 1} \right]} \over 2}\]
Ta chứng minh [1] đúng với \[n = k + 1\] tức là phải chứng minh :
\[1 + 2 + ... + k + \left[ {k + 1} \right] = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]} \over 2}\]
Thật vậy ta có :
\[\eqalign{
& 1 + 2 + ... + k + \left[ {k + 1} \right] \cr
& = {{k\left[ {k + 1} \right]} \over 2} + \left[ {k + 1} \right] \cr
& = {{k\left[ {k + 1} \right] + 2\left[ {k + 1} \right]} \over 2} \cr
& = {{\left[ {k + 1} \right]\left[ {k + 2} \right]} \over 2} \cr} \]
Vậy [1] đúng với \[n = k + 1\] do đó [1] đúng với mọi n nguyên dương.