Đề bài
Cho ba đường thẳng
\[\begin{array}{l}\left[ {{d_1}} \right]:2x + 3y = - 4;\\\left[ {{d_2}} \right]:3x + y = 1;\\\left[ {{d_3}} \right]:2mx + 5y = m.\end{array}\]
a. Với giá trị nào của m thì [d1], [d2], [d3] đồng quy tại một điểm ?
b. Với giá trị nào của m thì [d2] và [d3] vuông góc với nhau ?
Lời giải chi tiết
a. \[\left[ {{{\rm{d}}_1}} \right],\left[ {{{\rm{d}}_2}} \right]\] và \[\left[ {{{\rm{d}}_3}} \right]\] đồng quy khi và chỉ khi hệ phương trình:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + 3y = - 4\,\,\left[ 1 \right]}\\{3{\rm{x}} + y = 1\,\,\left[ 2 \right]}\\{2m{\rm{x}} + 5y = m\,\,\left[ 3 \right]}\end{array}} \right.\]
Có nghiệm duy nhất. Giải hệ phương trình gồm [1] và [2] tìm được \[x = 1 ; y = -2\]. Thay vào [3] tìm được m = 10.
b. \[\left[ {{{\rm{d}}_2}} \right] \bot \left[ {{{\rm{d}}_3}} \right] \Leftrightarrow \left[ { - 3} \right].\dfrac{{ - 2m}}{5} = - 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 5}}{6}\].