Đề bài
Cho ABC có \[AB = 6cm, AC = 8cm\] và \[BC = 10cm\]. Vẽ đường tròn [B; BA] và đường tròn [C; CA].
a. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn [C; CA] và AC là tiếp tuyến của đường tròn [B; BA].
b. AB cắt đường tròn [B] tại D và AC cắt đường tròn [C] tại E. Chứng minh rằng ba điểm D, M, E thẳng hàng [M là giao điểm thứ hai của hai đường tròn].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng định lý Pytago đảo: Một tam giác có bình phương 1 cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó là tam giác vuông
Sử dụng: Một tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông
Lời giải chi tiết
a. Ta có:
\[\eqalign{ & A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \cr & \left[ {{6^2} + {8^2} = {{10}^2}} \right] \cr} \]
Theo định lí Pi-ta-go đảo ta có: ABC vuông tại A hay \[AB AC \] AB là tiếp tuyến của [C; CA] và AC là tiếp tuyến của [B; BA].
b. Xét đường tròn tâm B có: \[\widehat {AMD} = 90^\circ \] [AD là đường kính ] \[ MD AM\] [1]
Xét đường tròn tâm C có \[\widehat {AME} = 90^\circ \] [do AE là đường kính] \[ ME AM\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra MD và ME phải trùng nhau hay ba điểm D, M, E thẳng hàng.