Phương trình bậc hai một ẩn nâng cao

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

Sách giải toán 10 Bài 2: Phương trình bậc nhất và bậc hai một ẩn (Nâng Cao) giúp bạn giải các bài tập trong sách giáo khoa toán, học tốt toán 10 sẽ giúp bạn rèn luyện khả năng suy luận hợp lý và hợp logic, hình thành khả năng vận dụng kết thức toán học vào đời sống và vào các môn học khác:

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là T = {1; 2}

b) √(x2-2 ) = 1 – x ⇔ x2 – 2 = (1 – x)2 ⇔ x2 – 2 = 1 – 2x + x2

⇔ 2x = 3 ⇔ x = 3/2

Vậy phương trình có một nghiệm x = 3/2

Lời giải:

a) Sai, vì giá trị x = 1 làm cho mẫu thức bằng không, tức là x = 1 không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình đã cho.

b) Sai, vì phép bình phương hai vế cho ta phương trình hệ quả bởi vậy cần phải thử lại kết quả tìm được. Do đó sau khi thử lại ta thấy x = 3/2 không là nghiệm của phương trình ban đầu.

a) (m2 + 2)x – 2m = z – 3;

b) m(x – m) = x + m – 2;

c) m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6.

d) m2(x – 1) + m = x(3m – 2);

Lời giải:

a) Đưa phương trình về dạng: (m2 + l)x = 2m – 3.

Nhận thấy m2 + 1 ≠ 0 với mọi m ∈ R nên phương trình có duy nhất

nghiêm x = (2m – 3)/(m2 + 1) (với mọi m ∈ R)

b) Đưa phương trình về dạng (m – l)x = (m – l)(m + 2) (1). Vậy:

• Nếu m = 1 thì (1) ⇔ 0x = 0. Phương trình có tập nghiệm là R.

• Nếu m ≠ 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất:

x = [(m – 1)(m + 2)]/(m – 1) = m + 2

c)Do m(x – m + 3) = m(x – 2) + 6 ⇔ 0x = m2 – 5m + 6

⇔ 0x = (m – 2)(m – 3)

• Với m ≠ 2 và m ≠ 3, phương trình vô nghiệm.

• Với m = 2 hoặc m = 3, phương trình có tập nghiệm là tập R.

d)Do m2(x – 1) + m = x(3m – 2) ⇔ (m2 – 3m + 2)x = m2 – m

⇔ (m – l)(m – 2)x = m(m – 1)

• Với m ≠ 1 và m ≠ 2, phương trình có nghiệm duy nhất x = m/(m – 2)

• Với m = 1, phương trình có tập nghiệm là R.

• Với m = 2, phương trình vô nghiệm

3x + 2 x = -x2 + x + a có nghiệm dương. Khi đó, hãy tìm nghiệm dương của phương trình.

Lời giải:

Phương trình đã cho tương đương với: x2 + 2x + 2 = a.

Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy phương trình ban đầu có nghiệm dương khi và chỉ khi a > 2. Lúc đó nghiệm dương là x = -1 + √(4a-7)

a) (m – l)x2 + 3x – 1 = 0;

b) x2 – 4x + m – 3 = 0.

Lời giải:

a) Khi m = 1 phương trình trở thành 3x – 1 = 0 có một nghiệm x = 1/3.

Khi m ≠ 1, ta có phương trình bậc hai với biệt số

Δ = 9 + 4(m – 1) = 4m + 5

Với m > -5/4 thì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1, 2 = (-3 ± √(4m+5))/(2(m-1))

Với m = -5/4 thì Δ = 0, Phương trình có một nghiệm kép x = 2/3

Với m < -5/4 thì Δ < 0, phương trình vô nghiệm

Kết luận :

– Khi m = 1. Phương trình có một nghiệm x = 1/3

– Khi m > -5/4 và m ≠ 1, phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1, 2 = (-3 ± √(4m+5))/(2(m-1))

– Khi m = -5/4 phương trình có một nghiệm (kép) x = 2/3

– Khi m < -5/4, phương trình vô nghiệm

b) Ta có: Δ’ = 4 – m + 3 = 7 – m.

Nếu 7 – m < 0 ⇔ m > 7 thì phương trình vô nghiệm.

Nếu 7-m = 0 ⇔ m = 7 thì phương trình có nghiệm kép :

x1 = x2 = 2.

Nếu 7-m > 0 ⇔ m < 7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x1= 2 – √(7-m) ; x2 = 2 + √(7-m)

Kết luận:

m > 7, phương trình vô nghiệm.

m = 7, phương trình có duy nhất nghiệm x1 = x2 = 2.

m < 7, phương trình có hai nghiệm phân biệt :

x1= 2 – √(7-m) ; x2 = 2 + √(7-m)

a) Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2. Chứng minh rằng ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

b) Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử

f(x) = -2x2 – 7x + 4; g(x) = (√2 + 1)x2 – 2(√2 + 1) + 2

Lời giải:

a) Áp dụng định lí vi-ét: x1 + x2 = -b/a, x1.x2 = c/a

ax2 + bx + c =a(x2 + b/a.x + c/a) = a[x2 – (x1 + x2)x + x1x2]

b) -f(x) = -2x2 – 7x + 4 . Xét phương trình f(x) = 0 ta được hai nghiệm x1 = -4 và x2 = 1/2

Do đó : f(x) = -2(x + 4)(x – 1/2) = (x + 4)(1 – 2x)

-g(x) = (√2 + 1)x2 – 2(√2 + 1)x + 2. Phương trình g(x) = 0 ta có hai nghiệm x1 = √2 và x2 = √2 /(√2 + 1)

Do đó : g(x) = (√2 + 1)(x – √2 )(x – √2/[√2 + 1])

= (x – √2 )[( √2 + 1)x – √2 ]

a) Tổng các bình phương hai nghiệm của nó.

b) Tổng các lập phương hai nghiệm của nó.

c) Tổng các lũy thừa bậc bốn hai nghiệm của nó.

Lời giải:

Ta có Δ’ = 16 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, gọi hai nghiệm là x1 và x2. Theo định lí Vi-et ta có x1+ x2= 2 và x1. x2= -15.

a) x12 + x22 = (x1+ x2)2 -2 x1. x2 = 4 + 30 = 34.

b) x13 + x23 = (x1+ x2)3 – x1. x2.( x1+ x2) = 8 + 90 = 98.

c) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2 x1. x2)2 = 342 – 2(-15)2 = 706.

(A) Vô nghiệm;

(B) Có hai nghiệm x= ±1/2.√((1+ √(3))(√(33-16√3) -1));

(C)Có bốn nghiệm x = ±1/2.√((1+ √(3))(√(33-16√3) -1)) và x = ±√3

(D)Có hai nghiệm x = ± √3

Lời giải:

Thay x = √3 vào phương trình ta có ngay x = √3 không là nghiệm, do vậy các khẳng định (C) và (D) là sai. Khẳng định (A) cũng sai vì phương trình đã cho có hệ số a = √3 – 1 > 0, c = 2(1 – √3 ) < 0 điều này chứng tỏ phương trình bậc hai (√3- l)yz + y + 2(1 – √3) = 0 có một nghiệm dương hay phương trình ban đầu phải có hai nghiệm phân biệt.

Vậy chỉ có khẳng định (B) là đúng (vì có duy nhất mọt khẳng định đúng).

Đăng ngày 26 Tháng Chín, 2021 bởi VanLoan | 1121 Views

Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tổng hợp các lý thuyết căn bản, đồng thời cũng đưa ra những dạng toán thường gặp và các ví dụ áp dụng một cách chi tiết, rõ ràng. Đây là chủ đề ưa chuộng, hay xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh. Cùng Kiến Guru khám phá nhé:

Phương trình bậc 2 một ẩn - Lý thuyết.

Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.

Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac.Khi đó:

• Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.

• Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
• Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:

• Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
• Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2

• x1+x2=-b/a
• x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2
• 
• …

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet.

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:

• Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), 
• Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=1 và x2=c/a
• Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

• Phân tích đa thức thành nhân tử: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x1)(x-x2)
• Xác định dấu của các nghiệm: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:

• Nếu S<0, x1 và x2 trái dấu.
• Nếu S>0, x1 và x2 cùng dấu:
• P>0, hai nghiệm cùng dương.
• P<0, hai nghiệm cùng âm.

II. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn:

Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn:

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý

suy ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:

Phương trình khuyết hạng tử.

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1).

Phương pháp:

• Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
• Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp:

Ví dụ 2:  Giải phương trình:

Hướng dẫn:

1. x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
2. x2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

Phương trình đưa về dạng bậc 2.

Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

• Đặt t=x2 (t≥0).
• Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
• Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

• Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
• Quy đồng khử mẫu.
• Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp đặt  t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

Hướng dẫn:

1. Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

• t=1 ⇔ x2=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
• t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

• 
• Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
• Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
• Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

• Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
• Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo đề:

Thử lại:

• Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
• Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về phương trình bậc 2 một ẩn. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc tự củng cố kiến thức cho bản thân, các bạn cũng sẽ rèn luyện thêm được tư duy giải quyết các bài toán về phương trình bậc 2. Các bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để khám phá thêm nhiều kiến thức mới. Chúc các bạn sức khỏe và học tập tốt!