Tìm tọa độ điểm m trên đường thẳng d sao cho ma + mb + mc đạt giá trị nhỏ nhất

Tim điêm thoa man điêu kiên cho trươcAM = 61.Cho điểm A(1;2;1).Tìm M sao choA.(2;1;-3)B.(2;1;0)C.(3;2;1)D.(2;1;3)MN = 32. Cho điểm M(1;-1;1).Tìm N sao choA.(1;2;-3)B.(1;1;1)C.(1;2;1)3. Cho điểm M(2;2;1).Tìm N sao cho dài MN là nhỏ nhấtA.(1;2;3)B.(2;2;1)C.(1;-2;1)4. Cho điểm A(3;3;1).Tìm N sao cho dài AN là lớn nhấtA.(4;2;-3)B.(-2;2;1)C.(-1;2;1)OM + ON25. Cho điểm M(0;3;1).Tìm N sao cho dàiA.(1;2;1)B.(0;2;1)OA + OB26. Cho điểm A(3;3;3).Tìm B sao cho dàiA.(1;4;1)B.(5;2;1)D.(-2;1;3)D.(2;1;-3)D.(2;-1;3)2là nhỏ nhấtC.(-1;-2;1)D.(1;1;3)là lớn nhấtC.(-6;-2;1)D.(3;2;3)2147.Cho mp(P): 2x+3y-z-12=0.Tìm tọa độ điểm A để khoảng cách từ A tới (P) bằng.A.(1;1;1)B.(1;2;1)C.(1;-1;1)D.(3;2;3)8. Cho mp(P): x+2y-2z +2 =0.Tìm tọa độ điểm A để khoảng cách từ A tới (P) bằng 3 .A.(1;2;1)B.(1;2;-1)C.(1;1;1)D.(3;2;0)9. Cho mp(P): 2x+y+2z +3 =0.Tìm tọa độ điểm A để khoảng cách từ A tới (P) nhỏ nhất?A.(2;1;-3)B.(2;1;0)C.(3;2;1)D.(2;1;3)10. Cho mp(Q): 2x-2y-z +5 =0.Tìm tọa độ điểm A để khoảng cách từ A tới (Q) lớn nhất?A. (3; –2; 3)B. (2; 0; 4)C. (–1; 0; 2)D. (0; 1; 3)11. Cho mp(P): 3x-2y-z +5 =0.Tìm tọa độ điểm A trên trục Ox để khoảng cách từ A tới (P) lớn nhất?A.(2;1;0)B.(2;0;0)C.(-3;0;0)D.(4;0;0)12. Cho mp(P): 2x+6y-z +5 =0.Tìm tọa độ điểm A trên trục Oy để khoảng cách từ A tới (P) nhỏ nhất?A.(0;0;0)B.(0;1;0)C.(0;-3;0)D.(0;3;0)13. Cho mp(Q): 3x-2y-z +5 =0.Tìm tọa độ điểm A trên trục Oz để khoảng cách từ A tới (Q) lớn nhất?A.(0;0;2)B.(0;0;-4)C.(0;0;-5)D.(0;0;9)14.Cho mp(P): x+3y+z-1=0.Tìm M thuộc mp(Oxy) sao cho khoảng cách từ M tới (p) là lớn nhất?A.(1;2;3)B.(1;1;0)C.(2;-1;0)D.(-3;-2;0)15. Cho mp(P): 2x+3y-2z-12=0.Tìm A thuộc mp(Oxz) sao cho khoảng cách từ A tới (P) là nhỏ nhất?A.(-1;0;1)B.(2;0;8)C.(3;0;-3)D.(0;0;2)16. Cho mp(Q): 3x-3y+2z-1 = 0.Tìm A thuộc mp(Oyz) sao cho khoảng cách từ A tới (Q) là nhỏ nhất?A.(-2;0;0)B.(0;2;2)C.(0;-3;0)D.(0;4;4)17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 1; 2). Tìm điểm N thuộc mặt phẳng Oxy sao cho độ dàiđoạn thẳng MN là ngắn nhấtA. (1; 1; 0)B. (1; 2; 2)C. (2; 1; 0)D. (2; 2; 0)18. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 0), B(3; 0; 5), C(2; 2; 1). Gọi M là một điểm chạy trênmặt phẳng Oyz. Giá trị của P = MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất khi M có tọa độ làA. (0; 2; 1)B. (0; 1; 3)C. (0; 2; 3)D. (0; 1; 2)19. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(–2; 1; 2) và B(1; 1; 1). Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng Oxy saocho biểu thức P = MA + MB có giá trị nhỏ nhấtA. (2; 1; 0)B. (1; –1; 0)C. (–1; 1; 0)D. (0; 1; 0)20. Cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng (P): 2x – y – z + 4 = 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA= MB = 3.A. (3; –2; 3)B. (2; 0; 4)C. (–1; 0; 2)D. (0; 1; 3)x + 2 y +1 z − 2==2−2−321. Cho Δ:và điểm A(2; 3; 2). Tìm tọa độ điểm M thuộc Δ thỏa mãn AM = 7A. (0; –3; –1) V (–4; 1; 5)B. (0; –3; –1) V (2; –5; –4)C. (1; –4; –1/2) V (–4; 1; 5)D. (1; –4; –1/2) V (–1; –2; 1/2)x +2 y z+5==1−1122. Cho Δ:A. (0; –2; –3)và hai điểm A(0; 5; 1), B(2; 4; 2). Tìm điểm M thuộc Δ thỏa mãn MA = MBB. (1; –3; –2)C. (2; –4; –1)D. (–3; 1; –6)23. Tìm điểm M trên trục Ox cách đều 2 điểmM (1;0;0)A(1; 2; −1), B(2;1; 2)1M ( ;0;0)2M (2; 0;0)3M ( ;0;0)2A..B..C..D..24. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(3; 2; 1). Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng Oxy.uuuur uuurMA + MBTìm tọa độ của M để P = || đạt giá trị nhỏ nhấtA. (1; 2; 1)B. (1; 1; 0)C. (2; 1; 0)D. (2; 2; 0)25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(0; 1; 2), B(2; –2; 1), C(–2; 0; 1). Tìm tọa độ của điểm Mthuộc mặt phẳng (α): 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MCA. (2; 1; 3)B. (–2; 5; 7)C. (2; 3; –7)D. (1; 2; 5)x− 1 y− 2 z+ 1d:==OxyzA(1;2;3) B(- 1;2; - 3)11126. Trong không gian, cho 2 điểm,và đường thẳng. Tìm tọaMA + MBđộ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao choM ( 1;2; - 1)A.thuộcM ( 0;2;0)B.27. Cho đường thẳngdđạt giá trị nhỏ nhất ?C.x y+ 1 z+ 2d: ==123và mặt phẳng7 10 1M( ; ; )3 3 3( P ) : x + 2y − 2z + 3 = 0M ( 2;3;0)D.. Tìm tọa độ điểm M có tọa độ âm( P)sao cho khoảng cách từ M đếnbằng 2.A.M(-2;-3;-1)B.M(-1;-3;-5)C.(-2;-5;-8)D.(-1;-5;-7)28. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(3; 3; 0), B(3; 0; 3), C(0; 3; 3). Tìm tọa độ tâm đường trònngoại tiếp tam giác ABCA. (-3; 3; 3)B. (1; 1; 1)C. (1; 2; 3)D. (2; 2; 2)x y −1 z==21229. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:. Tìm tọa độ điểm M trên trục hoànhsao cho khoảng cách từ M đến Δ bằng OMA. (–1; 0; 0) hoặc (1; 0; 0)B. (2; 0; 0) hoặc (–2; 0; 0)C. (1; 0; 0) hoặc (–2; 0; 0)D. (2; 0; 0) hoặc (–1; 0; 0)x = 3 + ty = tz = tx − 2 y −1 z==21230. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d 1:và d2:. Tìm tọa độđiểm M thuộc d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 bằng 1A. (6; 3; 3), (3; 0; 0)B. (4; 1; 1), (7; 4; 4)C. (3; 0; 0), (7; 4; 4)D. (5; 2; 2), (4; 1; 1)d:31.(QG 2017). Cho hai điểm A(1;-1;2), B(-1;2;3) và đường thẳngx −1 y − 2 z −1==112.Tìm điểm M(a;b;c) thuộcMA2 + MB 2 = 28; c < 0d sao choA.(-1;0;-3)B.(2;3;3)C.(1/6;7/6;-2/3) D.(-1/6;-7/6;-2/3)32.(HN 2017) Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1;2;-1); B(2;3;4) C(3;5;-2). Tìm tọa độ tâm I củađường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.5A.I  ; 4;1÷2 37B.I  ; −7; 0 ÷ 2 −27C.I ;15; 2 ÷ 2 7 3D.I  2; ; − ÷ 2 233.(HN 2018). Cho hai điểm A(1;2;1), B(2;-1;3).Tìm điểm M trên mp(Oxy) sao choA.(0;0;5)B.1 3  ;− ;0÷2 2 C.3 1  ; ;0 ÷2 2 MA2 − 2 MB 2D.(3;-4;0)lớn nhất?

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Xác định vị trí của điểm M trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất.

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, biết AB= 5cm, BC= 6cm.

a) Tính BH, AH?

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. CMR: A, G, H thẳng hàng.

c) Chứng minh: góc ABG = góc ACG.

Câu 2: tam giác ABC cân tại A, gọi G là trọng tâm, I là điểm nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh của tam giác đó.

a) CMR: A, G, I thẳng hàng

b) CMR: BG< BI< BA

c) góc IBG = góc ICG

d) Xác định vị trí điểm M sao cho tổng BM + MC có giá trị nhỏ nhất.

Câu 3: Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC, nhưng nhỏ hơn chu vi tam giác ABC.

Những câu hỏi liên quan

Trong mặt phẳng Oxy cho ∆ :   x - y + 1 = 0  và hai điểm A(2;1), B(9;6). Điểm M(a;b) nằm trên D sao cho MA+MB nhỏ nhất. Tính a+b

A. -9

B. 9

C. -7

D. 7

Tìm điểm M thuộc (P) sao cho ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$hoặc ${{\left| MA-MB \right|}_{max}}$

Phương pháp giải:

+) Kiểm tra vị trí tương đối của các điểm A và B so với mặt phẳng (P).

+) Nếu A và B cùng phía (P) thì bài toán ${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$phải lấy đối xứng A qua (P) khi đó

$MA+MB=M{A}'+MB\ge {A}'B$ dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow {A}',M,B$ thẳng hàng hay $M={A}'B\cap (P)$ .

Bài toán tìm ${{\left| MA-MB \right|}_{max}}$ , ta có $\left| MA-MB \right|\le AB\Rightarrow M$ là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).

+) Nếu A và B khác phía (P) thì bài toán${{\left| MA-MB \right|}_{max}}$ phải lấy đối xứng A qua (P) bài toán tìm${{\left( MA+MB \right)}_{\min }}$ $\Rightarrow $M là giao điểm trực tiếp của đường thẳng AB và (P).

Bài tập trắc nghiệm cực trị hình không gian có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$ , cho 2 điểm $A\left( -1;3;-2 \right);B\left( -3;7;-18 \right)$và mặt phẳng $(P):2x-y+z+1=0$  . Tìm điểm M thuộc (P) sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Đặt $f=2x-y+z+1=0$ ta có:  $f\left( A \right).f\left( B \right)>0\Rightarrow $A,B cùng phía với mặt phẳng (P).

Gọi  ${A}'$ là điểm đối xứng của A qua $(P):2x-y+z+1=0$$\Rightarrow A{A}':\frac{x+1}{2}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z+2}{1}$

Gọi$I\left( -1+2t;3-t;-2+t \right)=A{A}'\cap (P)$ suy ra $2(-1+2t)-(3-t)-2+t+1=0$

$\Leftrightarrow t=1\Rightarrow I(1;2;-1)\Rightarrow A(3;1;0)$.

Khi đó $MA+MB=M{A}'+MB\ge {A}'B$ dấu bằng xảy ra  $\Leftrightarrow {A}',M,B$ thẳng hàng.

Phương trình đường thẳng ${A}'B\left\{ \begin{array}  {} x=3+u \\  {} y=1-u \\  {} z=3u \\ \end{array} \right.\Rightarrow M={A}'B\cap (P)\Rightarrow M(3+u;1-u;3u)$

Giải $M\in (P)\Rightarrow u=-1\Rightarrow M(2;2;-3)$.

Bài tập 2: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho mặt phẳng $(P):x-y+2z-2=0$và 2 điểm $A\left( 2;3;0 \right);B\left( 2;-1;2 \right)$. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  (P) sao cho $\left| MA-MB \right|$ lớn nhất.

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu $f=x-y+2z-2=0$  . Ta có  $f\left( A \right).f\left( B \right)<0$ nên A,B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi  ${A}'$ là điểm đối xứng của A qua (P). Ta có: $A{A}':\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{-1}=\frac{z}{2}$

Khi đó $I=A{A}'\cap (P)\Rightarrow (2+t;3-t;2t)\Rightarrow t+2+t-3+4t-2=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow I\left( \frac{5}{2};\frac{5}{2};1 \right)\Rightarrow {A}'(3;2;2)$

Lại có $\left| MA-MB \right|=\left| M{A}'-MB \right|\le {A}'B$ dấu bằng xảy ra  $\Leftrightarrow {A}',M,B$ thẳng hàng.

Khi đó ${A}'B\left\{ \begin{array}  {} x=3+u \\  {} y=2+3u \\  {} z=2 \\ \end{array} \right.\Rightarrow M={A}'B\cap (P)\Rightarrow M\left( \frac{9}{2};\frac{13}{2};2 \right)$.

Bài tập 3: : Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho điểm $A\left( 3;1;0 \right);B\left( -9;4;9 \right)$và mặt phẳng (P) có phương trình $(P):2x-y+z+1=0$. Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng  (P) sao cho $\left| IA-IB \right|$ đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a +b +c bằng A. $a+b+c=22$. B. $a+b+c=-4$. C. $a+b+c=-13$. D. $a+b+c=13$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $f\left( x;y;z \right)=2x-y+z+1\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} f({{x}_{A}};{{y}_{A}};{{z}_{A}})=6 \\  {} f({{x}_{B}};{{y}_{B}};{{z}_{B}})=-12 \\ \end{array} \right.\Rightarrow f(A).f(B)=-72<0$.

Do đó hai điểm A, B nằm khác phía so với mặt phẳng (P).

Gọi ${B}'$ là điểm đối xứng của B qua mặt phẳng (P) $\Rightarrow \left( B{B}' \right):\frac{x+9}{2}=\frac{y-4}{-1}=\frac{z-9}{1}$.

Điểm $H\in (B{B}')\Rightarrow H\left( 2t-9;4-t;t+9 \right)\in \left( P \right)\to 2(2t-9)-(4-t)+t+9+1=0\Rightarrow t=2$

Ta có $\left| IA-IB \right|=\left| IA-I{B}' \right|\le {A}'B\Rightarrow {{\left| IA-IB \right|}_{\max }}=A{B}'$$\Rightarrow $I là giao điểm của $A{B}'$và mặt phẳng (P).

Lại có $\overrightarrow{A{B}'}=\left( -4;-1;13 \right)\Rightarrow \overrightarrow{{{u}_{(A{B}')}}}=(4;1;-13)\Rightarrow (A{B}'):\frac{x-3}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-13}$.

Điểm $I\in (A{B}')\Rightarrow I\left( 4t+3;t+1;-13t \right)\in \left( P \right)\to I(7;2;-13)\Rightarrow a+b+c=-4$. Chọn B

Bài tập 4: Trong không gian hệ tọa độ$Oxyz$cho mặt phẳng (P) có phương trình $(P):x-y+2z+2=0$và  2 điểm $A\left( 0;1;-2 \right);B\left( 2;0;-3 \right)$. Gọi M (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng  (P) sao cho $MA+MB$ nhỏ nhất. Tính giá trị của T= a+b+c. A. $T=-5$. B. $T=-\frac{1}{5}$.  C. $T=-1$. D. $T=\frac{1}{5}$.

Lời giải chi tiết:

Kí hiệu $f=x-y+2z+2$ ta có $f\left( A \right).f\left( B \right)>0\Rightarrow $ nên A,B nằm cùng phía với (P).

Gọi ${A}'$  là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng (P).

Khi đó$MA+MB=M{A}'+M{B}'\ge {A}'B$ dấu bằng xảy ra  $\Leftrightarrow {A}',M,B$ thẳng hàng.

Phương trình $A{A}':\frac{x}{4}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{2}$. Gọi $H=\text{A{A}'}\cap \left( P \right),H\left( t;1-t;-2+2t \right)$

Cho $H\in \left( P \right)\Rightarrow t+t-1+4t-4+2=0\Leftarrow t=\frac{1}{2}\Rightarrow H\left( \frac{1}{2};\frac{1}{2};-1 \right)\Rightarrow {A}'(1;0;0)$.

Khi đó ${A}'B:\left\{ \begin{array}  {} x=1+t \\  {} y=0 \\  {} z=-3t \\ \end{array} \right.\Rightarrow M={A}'B\cap \left( P \right)\Rightarrow M\left( \frac{8}{5};0;-\frac{9}{5} \right)\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{5}$. Chọn B.