Kiến thức cần nhớ:
1. Phương trình đường thẳng
– Phương trình tham số của đường thẳng
Định lí:
+ Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Δ đi qua điểm M0[x0;y0; z0] và nhận = [a1; a2; a3] làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M[x; y; z] nằm trên Δ là có một số thực t sao cho:
+ Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M0[x0;y0; z0] và có vectơ chỉ phương = [a1; a2; a3] là phương trình có dạng:
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng
Neu a1, a2, a3 đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng Δ dưới dạng chính tắc như sau:
2. Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau , chéo nhau.
Cho hai đường thẳng d và d’ lần lượt đi qua M0[x0;y0; z0], M’0[x’0;y’0; z’0]
Điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau, chéo nhau và có vectơ chỉ phương theo thứ tự là = [a1; a2; a3]; = [a’1; a’2; a’3].
Gọi = [, ]. ta có:
3. Điều kiện để một đường thẳng song song, cắt hoặc vuông góc với mặt phẳng
Cho đường thẳng d đi qua điểm M0[x0;y0; z0], có vectơ chỉ phương = [a1; a2; a3] và cho mặt phẳng [α] có phương trình: Ax + By + Cz + D = 0. Gọi = [A; B; C] là vectơ pháp tuyến của [α]. Ta có các điều kiện sau:
4. Tính khoảng cách
– Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta thực hiện các bước:
+ Viết phương trình mặt phẳng α] chứa M và vuông góc với Δ; Trong không gian Oxyz, để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng A ta thực hiện các bước:
+ Tìm giao điểm H của Δ với [α];
+ Khoảng cách từ điểm M đến Δ chính là khoảng cách giữa hai điểm M và H: d[M,Δ] = MH.
– Để tính khoảng cách giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng [α] song song với Δ ta thực hiện các bước:
+ Lấy một điểm M0[x0;y0; z0] tùy ý trên đường thẳng Δ;
+ Khoảng cách giữa A và mặt phẳng [α] là khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng [α]:
d[Δ,[α]] = d[M0,[α]]
– Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ và Δ‘ ta thực hiện các bước:
+ Viết phương trình mặt phẳng [α] chứa đường thẳng Δ và song song với đường thẳng Δ‘;
+ Lấy một điểm M’0[x’0;y’0; z’0] tùy ý trên Δ‘;
+ Khoảng cách giữa Δ và Δ‘ chính là khoảng cách từ điểm M’o đến mặt phẳng [α]:
d[Δ,A‘] = d[M’0,[α]].