Đề bài
Cho điểm M[2, 3]. Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ ở A và B sao cho là tam giác vuông cân tại đỉnh M.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
\[\Delta ABM\]vuông cân tại Mkhi và chỉ khi AM = BM và AM vuông BM.
Lời giải chi tiết
Gọi d là đường thẳng cần tìm.
Giả sử \[A\left[ {a;0} \right];B\left[ {0;b} \right]\] là giao điểm của d với Ox, Oy.
Ta có: \[\overrightarrow {MA} \left[ {a - 2; - 3} \right];\overrightarrow {MB} \left[ { - 2;b - 3} \right].\]
\[\Delta ABM\]vuông cân tại Mkhi và chỉ khi AM = BM và AM vuông BM
\[\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0 \hfill \cr
MA = MB \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 2\left[ {a - 2} \right] - 3\left[ {b - 3} \right] = 0 \hfill \cr
\sqrt{{\left[ {a - 2} \right]^2} + 9} = \sqrt{4 + {\left[ {b - 3} \right]^2}} \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- 2a - 3b + 13 = 0\\{\left[ {a - 2} \right]^2} + 9 = 4 + {\left[ {b - 3} \right]^2}\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{2a + 3b = 13\,\,\,\left[ 1 \right]\, \hfill \cr {\left[ {a - 2} \right]^2} + 5 = {\left[ {b - 3} \right]^2}\,\,\,\left[ 2 \right] \hfill \cr} \right. \cr} \]
Từ [1] suy ra \[b = {{13 - 2a} \over 3}\]thay vào [2] ta được:
\[\eqalign{
& {\left[ {a - 2} \right]^2} + 5 = {\left[ {{{13 - 2a} \over 3} - 3} \right]^2} \cr
& \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 + 5 = {{{{\left[ {4 - 2a} \right]}^2}} \over 9} \cr
& \Leftrightarrow 9{a^2} - 36a + 81 = 16 - 16a + 4{a^2} \cr
& \Leftrightarrow 5{a^2} - 20a + 65 = 0 \cr} \]
Phương trình vô nghiệm.
Vậy không tồn tại tam giác ABM vuông cân tại M.
Chú ý
Các em cũng có thể từ [1] rút \[a = \frac{{13 - 3b}}{2}\] thay vào [2] sẽ được phương trình \[5{b^2} - 30b + 65 = 0 \] suy ra pt này vô nghiệm.