Đề bài
Cho đường tròn [O; R] đường kính BC. Lấy A là điểm chính giữa của cung BC. D là điểm di động trên cung AC, AD cắt BC tại E. Xác định vị trí điểm D để \[2AD + AE\] nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Số đogóc có đỉnh bên ngoài đường tròn
+Số đo góc nội tiếp bằng nửa cung bị chắn
+ Tam giác đồng dạng
+ Định lý Py-ta go
+BĐT Cô-si cho 2 số dương
Lời giải chi tiết
Ta có :
\[\widehat {AEC} = \dfrac{{sd\overparen{AB} - sd\overparen{CD}} }{ 2} \]\[\,= \dfrac{{sd\overparen{AC} - sd\overparen{CD}}}{ 2} = \dfrac{{sd\overparen{AD}} }{ 2}\] [ vì \[\overparen{AB} = \overparen{AC}\] ]
Lại có \[\widehat {ACD} = \dfrac{{sd\overparen{AD}}}{2} \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {ACD}\]
\[ \Rightarrow ACD\] và \[AEC\] đồng dạng [g.g]
\[ \Rightarrow \dfrac{{AD} }{ {AC}} =\dfrac {{AC} }{{AE}} \Rightarrow A{C^2} = AD.AE\]
\[ABC\] vuông cân [ chắn nửa đường tròn] có \[BC = 2R.\]
Đặt \[AB = AC = x.\]
Theo định lí Py-ta-go:
\[\eqalign{
& {x^2} + {x^2} = {\left[ {2R} \right]^2} \Rightarrow 2{x^2} = 4{R^2} \cr
& \Rightarrow {x^2} = 2{R^2} \Rightarrow x = R\sqrt 2 \cr} \]
Vậy \[AB = AC = R\sqrt 2 \]
\[ \Rightarrow {\left[ {R\sqrt 2 } \right]^2} = AD.AE \]
\[\Rightarrow AD.AE = 2{R^2}.\]
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có :
\[2AD + AE \ge 2\sqrt {2AD.AE} \]
\[2AD + AE \ge 4R\]
Dấu = xảy ra \[\Leftrightarrow 2AD = AE = 2R\]
Do đó khi D thuộc cung AC sao cho \[AD = R \] thì \[2AD + AE\] nhỏ nhất.