- Bài 9.4
- Bài 9.5
- Bài 9.6
Bài 9.4
Cho tam giác nhọn\[ABC\]cân tại đỉnh\[A.\]Hai đường cao xuất phát từ đỉnh\[B\]và đỉnh\[C\]cắt nhau tại\[M.\]Hãy tìm các góc của tam giác\[ABC,\]biết \[\widehat {BMC} = 140^\circ \].
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với đỉnh đó.
+] Tổng ba góc trong tam giác bằng \[180^0\]
+] Tam giác cân có hai góc kề cạnh đáy bằng nhau
Lời giải chi tiết:
Xét tam giác vuông\[BKM,\] do \[\widehat {BMC} = 140^\circ \] là góc ngoài tại đỉnh \[M\] nên
\[\begin{array}{l}
\widehat {BMC} = \widehat {MBK} + \widehat {BKM}\\
\Rightarrow \widehat {MBK} = \widehat {BMC} - \widehat {BKM}
\end{array}\]
\[\Rightarrow\widehat {ABK} = 140^\circ - 90^\circ = 50^\circ \]
Hay \[\widehat {ABH} = 50^\circ \]
Trong tam giác vuông\[AHB\]có\[\widehat A + \widehat {{ABH}}= 90^\circ\] [tính chất]
Nên \[\widehat A = 90^\circ - \widehat {{ABH}} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \]
Tam giác\[ABC\] có\[Â = 40°\] và \[\widehat B + \widehat C+\widehat A=180^0\] [định lý tổng ba góc trong tam giác] \[\Rightarrow\widehat B + \widehat C=180^0-\widehat A =180^0-40^0=110^0\] [1]
Vì tam giác\[ABC\]cân tại\[A\] nên \[\widehat B = \widehat C\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\widehat B + \widehat C=140^0\] \[\Rightarrow 2\widehat B =140^0\]\[ \Rightarrow\widehat B =140^0:2=70^0\]
Vậy \[\widehat B = \widehat C = 70^\circ .\]
Bài 9.5
Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Điểm nằm trên đường phân giác của một góc cách đều hai cạnh của góc đó
+] Điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó
Lời giải chi tiết:
Giả sử hai tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh \[B\]và\[C\]của tam giác\[ABC\] cắt nhau tại\[O.\]Ta sẽ chứng minh\[AO\]là tia phân giác của góc\[A.\]
Kẻ các đường vuông góc\[OH, OI, OK\] từ\[O\]lần lượt đến các đường thẳng\[AB, BC, AC.\]
Vì\[BO\]là tia phân giác của góc\[HBC\]nên\[OH = OI\] [1]
Vì\[CO\]là tia phân giác của góc\[KCB\]nên\[OI = OK\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra\[OI = OH = OK\] [3]
Suy ra \[O\] thuộc tia phân giác góc \[BAC\]
Hay \[AO\]là tia phân giác của góc\[BAC\]và từ [3] ta có điều phải chứng minh.
Bài 9.6
Cho tam giác \[ABC,\]Hai đường phân giác của các cặp góc ngoài đỉnh \[B\]và \[C,\]đỉnh \[C\]và \[A,\]đỉnh \[A\] và \[B\] lần lượt cắt nhau tại \[A, B, C.\] Chứng minh rằng \[AA, BB, CC\] là các đường cao của tam giác \[ABC.\] Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác \[ABC\] là trực tâm của tam giác \[ABC.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+] Hai đường phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau
+] Kết quả bài 9.5 trang 52 SBT Toán 7 tập 2
Lời giải chi tiết:
Theo bài 9.5 trang 52 SBT toán 7 tập 2 ta có \[AA, BB, CC\] là ba tia phân giác của các góc \[A, B, C\] của tam giác \[ABC.\]
Vì \[AA'\] là phân giác góc trong của góc BAC và AB' là phân giác góc ngoài của góc BACnên \[{\rm{AA}}' \bot AB'\] [hai tia phân giác của hai góc kề bù thì vuông góc với nhau]
Tương tự \[{\rm{AA}}' \bot AC'\].
Vì qua \[A\] chỉ có một đường vuông góc với \[AA \] nên ba điểm \[B, A, C\] thẳng hàng và \[{\rm{AA}}' \bot B'C'\], hay \[AA\] là một đường cao của tam giác \[ABC.\]
Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được \[BB\]và \[CC\]là hai đường cao của tam giác \[ABC.\]
Như vậy các đường phân giác của tam giác \[ABC\] cũng là đường cao của tam giác\[ABC.\] Mà giao ba đường cao là trực tâm của tam giác nên giao điểm của ba đường phân giác của tam giác \[ABC\]là trực tâm của tam giác \[ABC.\]